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Luis Alfonso!
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El espacio vectorial será
$$\begin{align}&V=\left\{(x,x,y)|x,y \in \mathbb R \right\}\end{align}$$La dimensión será el numero de elementos de una base.
Tomemos este conjunto
B={(1,1,0) , (0,0,1)}
vamos a comprobar que es una base:
1) Es un sistema libre.
Supongamos una combinación lineal de ellos igualada al vector nulo. Sean a, b escalares de R
a(1,1,0)+b(0,0,1) = (0,0,0)
(a,a,0)+(0,0,b) = (0,0,0)
(a,a,b) = (0,0,0)
entonces a=b=0
luego B es un sistema libre
2) Es un sistema generador.
Sea u de V
u=(x,x,y)
tomaremos los escalares x e y, entonces
x(1,1,0) + y(0,0,1) = (x,x,0)+(0,0,y) = (x,x,y)
Con lo cual obtenemos u como combinación lineal de B.
Luego B es una base y por definición la dimensión de V es el número de elementos de la base, luego la dimensión de V es 2.
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Un sistema generador que no sea base. Al ser generador la condición que debe fallar para no ser base es que no sea libre, para ello deberá tener tres elementos al menos. Podemos tomar un sistema que nunca sea base tomando 2 elementos de ella por ejemplo
G1= {(2,0,0), (0,-1,0), (0,03)}
O a una base le añadimos otro vector que no haría falta
G2 = {(-1,-1,0) , (0,0, 7) , (3,4,5)}
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Las ecuaciones paramétricas tomando como parámetros t y s son
x=t
y=t
u=s
Para todo t, s de R
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Y eso es todo.
En primer lugar debes tener en cuenta que el subespacio está formado por todos los vectores del espacio vectorial
$$\begin{align}&\mathbb{R}^3\end{align}$$que cumplen que su primera y segunda coordenada son iguales.
Normalmente se comprueba si cumple las condiciones para ser subespacio vectorial:
- Contiene al vector nulo ya que dicho vector cumple que:
$$\begin{align}&x_{2}=x_{1}\end{align}$$- Además, dados dos vectores cualesquiera perteneciente a dicho subespacio, tenemos que:
$$\begin{align}&u=(x_1,x_1,y_1),\;v=(x_2,x_2,y_2)\end{align}$$$$\begin{align}&u+v=(x_1+x_2,x_1+x_2,y_1+y_2)\in S\end{align}$$$$\begin{align}&\lambda u+\mu v=(\lambda x_1 +\mu x_2 ,\lambda x_1 +\mu x_2 ,\lambda y_1 +\mu y_2 )\end{align}$$Por tanto, podemos concluir que S es subespacio vectorial de R3.
La dimensión vendrá dada por la resta entre la dimensión del espacio vectorial R3 y el número de ecuaciones utilizadas para definir el subespacio vectorial, es decir:
$$\begin{align}&dim S=3-1=2\end{align}$$Por tanto, necesitaré dos parámetros, y los vectores de ese subespacio tendrán todos la forma:
$$\begin{align}&(\lambda, \lambda , \mu )\end{align}$$Así, un sistema generador de S serían los vectores (1,1,0) y (0,0,1) ya que:
$$\begin{align}&\lambda (1,1,0)+\mu (0,0,1)=(\lambda,\lambda,\mu )\end{align}$$Sin embargo, (1,1,0) y (0,0,1) son linealmente independientes y, por tanto, constituyen una base. Para obtener un sistema generador que no sea base, amplio la base con un vector que sea combinación lineal. Por ejemplo:
$$\begin{align}&\lambda (2,2,0)-\lambda(1,1,0)+\mu(0,0,1)=(\lambda,\lambda,\mu)\end{align}$$Es sistema generador pero no es base ya que (2,2,0) es combinación lineal de (1,1,0).
B) Las ecuaciones paramétricas son:
$$\begin{align}&x=\lambda \\&y=\lambda\\&z=\mu \end{align}$$Un saludo y espero que mi explicación te haya resultado útil.