Realiza la solución del siguiente problema con la ecuación de calor
Resuelve la ecuación de calor
$$\begin{align}&k (∂^2 v)/∂x=∂v/∂t \end{align}$$Cuyo intervalo es - infinito menor que x menor que infinito con
$$\begin{align}&t>0\end{align}$$Si
$$\begin{align}&v(x,0)=e^(-|x| )\end{align}$$Con - infinito menor que x menor que infinito
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Respuesta de Lucas m
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Amo mo!
Se resuelve por el método de separación de variables
v(x,t)=X(x)·T(t)
Y las derivadas parciales toman la forma:
$$\begin{align}&\frac{\partial v}{\partial x}=X'(x)T(t)\\&\\&\frac{\partial ^2v}{\partial x^2}=X''(x)T(t)\\&\\&\frac{\partial v}{\partial t}=X(x)T'(t)\\&Sustituyendo \ en \ ED:\\&kX''(x)T(t)=X(x)T'(t) \ \\&Reacomodando ,\ separando \ variables:\\&\\&\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{k}·\frac{T'(t)}{T(t)} (*)\\& k \ puede \ colocarse \ en \ el \ miembro \ que \ se \ quiera\\&Esta \ expresión \ es \ la\ que \ permite \ considerar \ el \ metodo \ de \ sepración \ de \ variables\\&en \ la \ ED \ a \ resolver. Para \ que \ esta \ igualdad \ se \ cumpla, y \ dado \ que \ el \ miembro \ de \ la \ izquierda \ \\&es \ función \ solo \ de\ x, y \ el \ de \ la \ de \ derecha \ solo \ de \ t, la \ única \ manera \ de \ que \ esto \ sea \ posible\\&es \ que \ la \ ecuación \ (*) sea \ constante, a \ la \ que por \ conveniencia \ llamaremos \lambda^2\\&\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{k}·\frac{T'(t)}{T(t)}=\lambda^2 (**)\\&Esta \ constante \ puede \ ser \ positiva,negativa, o, cero\\&Para \ obtener X(x) \ y \ T(t) tomaremos \ tanto \ la \ parte \ de \ la \ izquierda \ como \ de \ la \ derecha \ y los tres\\& \ posibles \ valores \ de \ lambda\\&Caso \lambda^2>0\\&X''(x)-\lambda^2X(x)=0\\&ED \ segundo \ orden, cuya \ ecuación \ auxiliar \ es\\&m^2-\lambda^2=0, donde \ la \ solución \es\\&X(x)=C_1e^{\lambda x}+C_2e^{-\lambda x}\\&o \ alternativamente:\\&X(x)=C_1cosh(\lambda x)+C_2senh(\lambda x)\\&Y \ con \ el \ segundo \ miembro \ de \ (**)\\&T'(t)-\lambda^2kT(t)=0\\&que \ es \ ED \ lineal \ 1r \ orden\\&T(t)=C_3e^{\lambda^2kt}\\&Luego\\&v(x,t)=X(x)T(t)=(C_1e^{\lambda x}+C_2e^{-\lambda x})C_3e^{\lambda^2kt}\\&o\\&v(x,t)=(C_1cosh(\lambda x)+C_2senh(\lambda x))C_3e^{\lambda^2kt}\\&\\&Caso \ -\lambda^2<0\\&X''(x)+ \lambda^2X(x)=0\\&es \ ED \ 2º \ orden\\&m^2+\lambda^2=0\\&la \ solución \ tiene \ la \ forma\\&X(x)=C_1cos(\lambda x)+C_2sen(\lambda x)\\&y\\&T'(t)+\lambda^2kT(t)=0\\&es ED \ 1r \ orden, de \ solución:\\&T(t)=C_3e^{-\lambda^2 kt}\\&Luego\\&v(x,t)=X(x)T(t)=(C_1cos(\lambda x)+C_2sen(\lambda x))C_3e^{-\lambda^2 kt}\\&\\&Caso \lambda^2=0\\&X''(x)=0\\&X(x)=C_1+C_2x\\&y\\&T'(t)=0\\&T(t)=C_3\\&luego\\&v(x,t)=(C_1+C_2x)C_3\\&\end{align}$$Lo tengo que dejar
Falta considerar la condición inicial v(x, 0)
