Resolver la siguiente transformada de una función periódica
Transformada de una función periódica: Si f(t) es una función continua por tramos (es decir periódica) en el intervalo
$$\begin{align}&[0, ∞)\end{align}$$De orden exponencial, y con periodo T con
$$\begin{align}&T>0\end{align}$$Entonces se cumple que:
$$\begin{align}&L(f(t))=1/(1-e^(-sT) ) ∫_0^∞e^(-st) f(t)d\end{align}$$Es decir que la transformada de Laplace se puede obtener por integración en un periodo
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Amo Mo!
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En la fórmula final el limite superior de la integral es T no infinito.
$$\begin{align}& \mathcal L\{f(t)\}=\frac{1}{1-e^{-sT} } \int_0^Te^{-st} f(t)\;dt\\&\\&\text{Tomamos la definicíon}\\&\\& \mathcal L\{f(t)\}=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)\;dt =\\&\\&\text{dividimos en dos partes la integral,}\\&\text{la primera hasta el periodo T}\\&\\& =\int_0^{T}e^{-st}f(t)\;dt + \int_T^{\infty}e^{-st}f(t)\;dt =\\&\\&\text{en la segunda hacemos el cambio de variable}\\&t =w+T\\&dt=dw\\&t=T\implies w=0\\&t=\infty\implies w=\infty\\&\\&=\int_0^{T}e^{-st}f(t)\;dt + \int_0^{\infty}e^{-s(w+T)}f(w+T)\;dw =\\&\\&\text{f es periódica de periodo T}\implies f(w+T)=f(t)\\&\text{tambíen descompondré la exponencial}\\&\\&=\int_0^{T}e^{-st}f(t)\;dt + \int_0^{\infty}e^{-sw}·e^{-sT}f(w)\;dw =\\&\\&e^{-sT} \text{es una constante integrando respecto w}\\&\\&=\int_0^{T}e^{-st}f(t)\;dt + e^{-sT}\int_0^{\infty}e^{-sw}·f(w)\;dw =\\&\\&\text{Y la 2ª integral es la definición de la transformada}\\&\text{de Laplace con otro nombre de variable.}\\&\text{Renombrando w como t y recapitulando tenemos}\\&\\& \mathcal L\{f(t)\}=\int_0^{T}e^{-st}f(t)\;dt +e^{-sT}· \mathcal L\{f(t)\}\\&\\&\mathcal L\{f(t)\}-e^{-sT}· \mathcal L\{f(t)\}=\int_0^{T}e^{-st}f(t)\;dt \\&\\&\mathcal L\{f(t)\}=\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_0^{T}e^{-st}f(t)\;dt \\&\end{align}$$Y eso es todo.
