Tengo una duda de como resolver el ejercicio de probabilidad continua
Supongamos que un conocido nos dice que ha obtenido en un test de inteligencia una puntuación CI igual a 95. Asumiendo que las puntuaciones en un test de inteligencia se distribuyen normalmente y sabiendo que las puntuaciones CI tienen media 100 y desviación típica 15, ¿qué le podemos decir acerca de su puntuación?, más concretamente,
(a) ¿qué porcentaje de sujetos es de esperar que obtengan un valor inferior o igual a 95?, o
(b) ¿qué porcentaje de sujetos es de esperar que obtengan un valor superior a 95?;
(c) Supongamos también que nos pregunta qué puntuación CI habría que sacar en el test de inteligencia para estar en el 30% inferior (puntuación de CI que deja el 30% de sujetos por debajo); (d) ¿y para estar en el 10% superior? (puntuación de CI que es superada solo por el 10% de los sujetos) (e) ¿entre qué valores de CI se encuentra el 50% central de los sujetos?
1 respuesta
·
CI ~ N(100, 15)
Para tipificarlo hay que restar 100 y dividir entre 15
a)
P(X<=95) = P[Z<=(95-100)/15] = P(Z<=-5/15) = P(Z<=-0.3333...) =
1 - P(Z<=0.3333...) = 1- 0.6306 = 0.3694
·
b)
P(X>95) = 1 -P(X<=95) = 1 - 0.3694 = 0.6306
·
c)
Hay que buscar en la tabla el valor que da una probilidad de 0.3
Pero como las tablas muestran de 0.5 para arriba buscaremos la probabilidad simétrica 1-0.3=0.7 y al valor obtenido le pondremos signo -
Tenemos que
P(0.52) = 0.6985
P(0.53) = 0.7019
Hay una diferencia de 34 diezmilésimas y se necesitan 15 para llegar a 0.7000 La interpolación sería
0.52 + (15/34) · 0.01 = 0.52 + 0.0044 = 0.5244
Luego el valor es -0.5244
Y ahora caculamos el valor deX corres`pondiente a ese valor de Z
-0.5244 =(X-100)/15
-7.866 = X - 100
X = 100 - 7.866 = 92.134
·
d)
Para el 10% superior hay que buscar el valor cuya probabilidad es
1-0.1 = 0.9
tenemos
P(1.28)=0.8997
P(1.29)=0.9015
Hay una diferencia de 18 y se necesitan 3, luego la sexta parte
1.28 + (1/6) · 0.01 = 1.28 + 0.001666 = 1.281667
Ese valor de Z corresponde a
1.281667 = (X-100)/15
19.225 = X-100
X = 119.225
·
e)
El 50% central estará comprendido entre 0.25 y 0.75 Son valores simétricos, luego calcularemos uno y el otro es simétrico respecto a la media
P(0.67) = 0.7486
P(0.68) = 0.7517
Hay una diferencia de 31 diezmilésimas y se necesitan14 para llegar a 0.7500 La interpolación es
Z=0.67 + (14/31) · 0.01 = 0.67 + 0.0045= 0.6745
que corresponde a un valor de X
0.6745= (X-100)/15
10.1175= X-100
X = 110.1175
y el valor correspondiente a 0.25 es
X= 100-10.1175 = 89.8825
Luego esta comprendido en el intervalo
[89.8825, 110.1175]
·
Y eso es todo.
