Duda sobre cuáles de estos conjuntos son abiertos.
Demuestra cuales de los siguientes conjuntos son abiertos, argumente su respuesta.
$$\begin{align}&a) A=\{(x,y):x-y \ge 1\}\\&b) A=\{(x,y,z)):xyz>0\}\\&c)A=\{(x,y):1< x^2+y^2 <4\}\\&\\&\end{align}$$
1 Respuesta
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a)
No es abierto ya que contiene su frontera y por lo tanto no todos los puntos serán interiores.
Si tomamos un punto tal que x-y=1 por ejemplo (1,0), dada cualquier bola de radio r>0 tomamos el punto (1, r/2) que es interior a ella
Entonces para dicho punto se cumple
x-y = 1-r/2 < 1
Luego el punto (1, r/2) no pertenece a A.
Asi que toda bola de (1,0) contiene puntos de fuera A luego (1,0) no es un punto interior de A y por lo tanto A no es un abierto.
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b)
Es un abierto porque todo punto es interior.
Dado (x, y, z) con xyz>0 tomaremos una bola que tenga como radio la mitad del mínimo de los valores absolutos:
r= (1/2) min{|x|, |y|, |z|}
Entonces todos los puntos de esa bola conservarán el mismo signo en cada componentes que el correspondiente a la coordenada de (x, y, z) por lo que el producto tendrá el mismo signo que el de xyz que es positivo. Por lo que todo punto de A tiene una bola que lo contiene y está contenida en A, luego es interior a A y por lo tanto A es un abierto.
c) Es un abierto.
Es la corona circular entre las circunferencias de radio 1 y radio 2 sin incluir ningun punto de la frontera. Dado un punto cualquiera de A podemos una bola de radio suficientemente pequeño para que este comprendida dentro de la corona circular, por eso el punto es interior y A es un abierto.
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Y eso es todo.
