Apoyo para decidir si se trata de una función continua el siguiente ejercicio.
$$\begin{cases} x+y*sen(1/x) & \mbox{si } (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \mbox{si } (x,y)=(0,0) \end{cases}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Por muy aparatosa que sea la función sen(1/x) esta acotada, solo puede tomar valores en el intervalo [-1,1] por lo cual
-|y| <= y·sen(1/x) <= |y|
tomando límites cuando y tiene a 0 tendremos
0 <= lim (x,y)-->(0,0) de y·sen(1/x) <= 0
Por el teorema de sandwich o emparedado
lim y-->0 de y·sen(1/x)=0
y también
lim (x,y)-->(0,0) de x = 0
Luego
lim (x,y)--->(0,0) de (x+y·sen(1/x)) = 0+0=0 = f(0,0)
Luego la función es continua en (0,0) y en los demás puntos no hay problemas es composición, productos y sumas de funciones continuas que es continua.
