Encuentre una base de dicho subespacio y determine las coordenadas del vector (1,2,0,1)

¡HolaAaleksandra!

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Todo vector será de la forma

u=(a, a+b, c, b)

podemos ponerlo como suma de estos tres

u = (a, a, 0, 0) + (0, b, 0, b) + (0, 0, c, 0)

Como a, b, c pueden tomar cualquier valor del cuerpo los vectores u son todas las combinaciones lineales de esta forma

u = a(1, 1, 0, 0)+ b(0, 1, 0, 1) + c(0, 0, 1, 0)

que son el subespacio generado por los vectores

C ={(1,1,0,0), (0,1,0,1) , (0,0,1,0)}

Este es un sistema generador de S, para que sea base debemos comprobar que es un sistema libre.

Simplemente con ponerlos en fila

1  1  0  0

0  1  0  1

0  0  1  0

Al tener todo ceros bajo la diagonal ya se ve que son independientes. Pero si eso no te sirve, puedes comprobar que son independientes igualando al vector nulo una combinación líneal de ellos.

a(1,1,0,0)+b(0,1,0,1)+c(0,0,1,0) = (0,0,0,0)

(a, a+b, c, b)=(0,0,0,0)

a=0

a+b=0

c=0

b=0

luego a=b=c=0 y por lo tanto son un sistema independiente.

Y por ser generador y libre es base.

B ={(1,1,0,0), (0,1,0,1) , (0,0,1,0)}

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Para hallar las coordenadas de (1, 2, 0, 1) igualamos una combinación lineal de la base a ese vector. De hace un momento ya teniamos la combinación igualada al vector nulo, en donde estaba el vector nulo pondremos este

a=1

a+b=2

c=0

b=1

Las ecuaciones 1, 3 y 4 ya nos proporcionan las coordenadas, no obstante debemos comprobar que se cumple la segunda, ya que si no se cumpliera no sería un vector del subespacio S

como a=1  y b=1  se cumple a+b=2, luego se cumple la segunda.

Y las coordenadas (a,b,c)  son (1, 1, 0).

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Y eso es todo.