¿Para que valores del parámetro?
Calcular para qué valores del parámetro "a" a los siguientes vectores forman base de R3
a) (2, a,1),(a,1,0),(1, 2,0)
b) (2, a,1),(a,1, -1),(2, 2,0)
c) En los casos anteriores, ¿es posible obtener un sistema generador añadiendo un cuarto vector de como combinación lineal de los disponibles?
2 respuestas
Para que sean una base los vectores han de se linealmente independientes, y por tanto el determinante de los tres vectores ha de ser diferente de 0
a) Determinante de
2 a 1
a 1 2 = 2a -1=0 ===> a =1/2 Luego es una base para a distinto de 1/2
1 0 0
b) determinante de
2 a 2
a 1 2 = 2a-2a-(2-4)=2 que es diferente de cero sea cual sea el valor de
1 -1 0
Luego es una base independientemente de lo que valga a
·
Formarán una base si el determinante es distinto de 0
a)
$$\begin{vmatrix}2&a&1\\a&1&0\\1&2&0\end{vmatrix}$$=2a-1=0
2a = 1
a = 1/2
Será una base para cualquier valor de a distinto de 1/2
·
b)
$$\begin{vmatrix}2&a&1\\a&1&-1\\2&2&0\end{vmatrix}$$=-2a+2a-2+4 = 2
Luego siempre es distinto de 0, sea cual sea el valor de a será una base.
·
c)
Si añadimos un vector combinación lineal de los existentes no añadimos ninguna combinación lineal distinta de las ya existentes. Luego si el sistema ya era generador seguirá siendo generador y si no lo era no lo será.
Entonces en el ejercicio a) tendremos que si a=1/2 no obtendremos un sistema generador, y si a distinto de 1/2 será sistema generador igual que lo era antes.
Y en el jercicio b) como ya era generador siempre lo seguirá siendo.