Determinar si en el intervalo (0,1) con intervalo cerrado: e^x, e^-x son linealmente independiente o dependiente

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Supongo que con intervalo (0,1) con intervalo cerrado te refieres a

[0, 1]

Los corchetes son los que se usan en la notación como Dios manda para los intervalos cerrados y los parénteis ( ) para los abiertos. Es que hay una corriente que solo usa los corchetes así

]a,b[    abierto

[a,b]   cerrado

Esa notación es aberrante, como en una linea se te junten tres o cuatro pares de intervalos no te vas enterar si estás ante uno que se abre o uno que se cierra, si lo que hay dentro es lo que habia antes o es lo que vendrá después, en definitiva un asco de notación y ya tenía ganas de decirlo.

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Bueno, vamos con el ejercicio.

Tomemos una combinación lineal de ambas identificada al vector nulo que es la función f(x)=0.

Si los coeficientes debe ser nulos entonces son independientes, si con algún coeficiente no nulo se obtiene la identidad entonces son dependientes

$$\begin{align}&a\,e^x+b\,e^{-x}=0\\&\\&\text{para que haya identidad en }x=0\\&ae^0+be^{-0}=0\\&a+b=0\\&a=-b\\&\\&\text{y para que la haya en }x=1\\&ae + be^{-1}=0\\&-be+be^{-1}=0\\&b\left(-e+\frac 1e\right)=0\\&\text{como }\quad -e+\frac 1e\neq 0\implies b=0\implies\\&a=-b=0\\&\\&\text{luego}\quad a=b=0\\&\\&\end{align}$$

Y como la uníca combinación lineal posible es con a=b=0 las funciones son linealmente independientes.

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Y eso es todo.