Como verificar que un plano contiene a una recta en el espacio?
Verificar que el plano de ecuacion 3x-8y+2z=8
contiene a la recta de ecuaciones
$$\begin{align}&\frac{x-2}{10}=\frac{2y-2}{11}=\frac{z-5}{7}\end{align}$$
2 Respuestas
Para que una recta esté contenida en el plano ha de cumplir dos cosas:
1º que el vector normal del plano sea perpendicular al vector director de la recta
(Esta condición es la misma que cuando la recta y el plano son paralelos)
2º un punto cualquiera de la recta, R, pertenezca al plano
$$\begin{align}&\vec{d} ·\vec{n}=(10,11,7)·(3,-8,2)=30-88+14 \neq0\end{align}$$Luego no cumple la 1ªcondición,ya que dos vectores son perpendiculares si el producto escalar da cero.
Esa recta y ese plano son secantes
La resolución del profesor Valero!
Se me paso la expresión (2y-2)/11, tiene que ser de la forma (y-1)/(11/2)
y el vector es (10,11/2 7)
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Para que una recta esté contenida en un plano deben ser paralelos y un punto de la recta debe estar en el plano, probando eso es suficiente.
Para que recta y plano sean paralelos deben ser perpendiculares sus vectores directores.
El vector director del plano 3x-8y+2z=8 es u=(3, -8, 2)
Y el de la recta dada esta formado por los denominadores siempre que tenga +x,+y,+z en los numeradores y con coeficiente 1.
En esta recta hay un problema con la y pues tenemos
$$\begin{align}&\frac{x-2}{10}=\frac{2y-2}{11}=\frac{z-5}{7}\\&\\&\text{debemos dividir por 2 numerador y denominador de la y}\\&\\&\frac{x-2}{10}=\frac{y-1}{\frac {11}2}=\frac{z-5}{7}\\&\\&\text{El vector es }\;v=\left(10,\frac{11}{2},7 \right)\\&\\&\text{y el punto es(2,1,5)}\end{align}$$El producto escalar u·v es:
u·v = (3,-8,2)·(10, 11/2, 7) = 30 -44+14 = 0
Luego son paralelos.
Y ahora veamos si el punto es del plano 3x-8y+2z- 8=0
El punto era (2, 1, 5)
3·2 - 8·1 + 2·5 - 8= 6 - 8 +10 -8 = 0
Luego está en el plano.
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Por lo tanto, la recta está contenida en el plano.
Y eso es todo.