Demostración de derivación de orden superior e implícita
Me podrían ayudar con esta demostración:
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Demostrar que
$$\begin{align}&\frac{d}{dx}\left[\tan ^{-1}\left(x\right)\right]=\frac{1}{1+x^2}\end{align}$$Se los agradecería mucho
Te explico 1/ derivada tangente a. 1/ sen a /cos a derivamos en el denominador D sen a *cos a - sen a *D cos a / cos^2 a. Y. queda 1/ cos^2 a+ sen^2 a /cos^2 a =1/1+ sen^2a / cos^2 a= 1/ 1+ tg^2a Llamando a tg= x y queda 1/ 1+ x^2 saludos
D sen alfa= cos alfa D cos alfa= - sen alfa espero que lo comprendas
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$$\begin{align}&y=arctanx \Rightarrow\\&\\&x=tany \Rightarrow\\&Derivación \ Implicita\\&x'=(tany)'\\&\\&1=(1+tan^2y)y'\\&\\&y'=\frac{1}{1+tan^2y}=\frac{1}{1+x^2}\\&\\&c.q.d.\end{align}$$c.q.d.(como queríamos demostrar)
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El teeorema dice que si una función
y=f(x)
tiene una función inversa
x = g(y)
Tal que un punto (xo, yo) la función g(y) es derivable y distinta de 0, entonces la función y=f(x) tiene derivada en el punto xo y su valor es
f'(xo) = 1/g'(yo)
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Para este ejercicio llamaremos
y = f(x) = tg^(-1)(x)
x = g(y) = tg(y)
g'(y) = tg'(y) = 1 + tg^2(y) = 1+x^2
y aplicando el teorema
f'(x) = 1 / g'(y) = 1 / (1+x^2)
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Y eso es todo.