¿Me podríais ayudr con estas integrales? :)

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Yo también haré alguna para ir picando.

$$\begin{align}&\text{Usamos }ln\, a^b= b·ln\,a\\&\\&\int \frac{ln \sqrt x}xdx=\int \frac{\frac 12ln \,x}{x}dx=\\&\\&t=ln\,x\\&dt=\frac {dx}{x}\\&\\&=\frac 12\int t\; dt=\frac 14t^2+C=\\&\\&\frac 14 (lnx)^2+C\end{align}$$

$$\begin{align}&\int \frac{(ln\,x)^2}{x^2}dx=\int (ln\,x)^2·\frac 1x ·\frac {dx}x\\&\\&t=ln\,x  \implies x=e^t \implies \frac 1x=e^{-t}\\&dt =\frac{dx}x\\&\\&\int t^2e^{-t}\;dt=\\&\\&u=t^2 \qquad \quad du=2t\;dt\\&dv=e^{-t}dt\quad v=-e^{-t}\\&\\&=-t^2e^{-t}+\int2t\,e^{-t}dt=\\&\\&u=2t\qquad \qquad du=2\;dt\\&dv=e^{-t}\;dt\qquad v=-e^{-t}dt\\&\\&=-t^2e^{-t}-2te^{-t}+2\int e^{-t}=\\&\\&-t^2e^{-t}-2te^{-t}-2e^{-t}+C=\\&\\&-e^{-t}(t^2+2t+2)+C=\\&\\&-\frac 1x((ln\,x)^2+2\,ln\,x+2)+C\end{align}$$

Como te decía, si las mandas por separado te las iremos resolviendo todas:

Te hago la 1ª (Por partes)

$$\begin{align}&\int lnx^2 dx=\\&u=lnx^2 \Rightarrow du=\frac{1}{x^2}2x=\frac{2}{x}\\&dv=1 \Rightarrow v=x\\&\\&=uv- \int vdu=xlnx^2- \int 2 dx=\\&\\&xlnx^2-2x+C\end{align}$$

Y la última:

$$\begin{align}&\int \frac{(lnx)^2+3}{xlnx}=\int \frac{(lnx)^2}{xlnx}dx+\int \frac{3}{x lnx}dx=\\&\\&\int \frac {lnx}{x}dx+ 3 \int \frac {dx}{xlnx}=\\&\\&\frac{(lnx)^2}{2}+3ln(ln(x))+C\end{align}$$