Demostraciones respecto a subgrupos de un grupo
Si H y K son son subgrupos de un grupo G tal que |H| y |K|son primos relativos, demuestre que:
$$\begin{align}&H∩K=(1)\end{align}$$
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Sabemos algunas cosillas de antemano supongo:
La intersección de grupos es un grupo
El orden de un subgrupo divide al orden del grupo.
Entonces H∩K es subgrupo de H luego |H∩K| divide a |H|
y H∩K tambiénn es subgrupo de K luego |H∩K| divide a |K|
Como |H| y |K| son primos relativos su único divisor común es 1, luego |H∩K| = 1
Y el único grupo que hay de orden 1 es
G = {elemento neutro}
ya que tiene que estar en todo grupo por definición. Por lo tanto
H∩K = {1}
·
Y eso es todo.
