Demostración de un grupo bajo la composición de funciones
Sea:
$$\begin{align}&G={f:R→R|f(x)=ax+b}\end{align}$$Con:
$$\begin{align}&a≠0\end{align}$$Probar que G es un grupo bajo la composición de funciones y además probar que G es isomorfo al subgrupo de:
$$\begin{align}&GL(2,R\end{align}$$que consiste de las matrices de la forma:
$$\begin{align}&(a&b\\&0&1)\end{align}$$
1 respuesta
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Veamos que cumple las condiciones de grupo.
1) Es una operación interna·
Sea
f(x) = ax+b
g(x) = cx +d
(fog)(x) = f[g(x)] = f(cx+d) a(cx+d)+b = (ac)x + (ad+b)
Que tiene la forma de una función de G
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2) Es asociativa porque la composición de cualesquiera funciones lo es
[fo(goh)](x) = f[(goh)(x)] = f(g[h(x)])
[(fog)oh](x) = (fog)[h(x)] = f(g[h(x)])
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3) Tiene elemento neutro, es la función I(x) = x
(foI)(x) = f[I(x)] = f(x)
(Iof)(x) = I[f(x)] = f(x)
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4) Todo elemento tiene inverso. Para no complicar en exceso la notación llamaré f' al inverso de f
Sea f(x) = ax+b
(fof')(x) = I(x)
f[f'(x)] = x
af'(x)+b = x
sea f'(x) = cx+d
a(cx+d)+b=x
acx + ad + b = x
esto significa dos cosas
ac=1 ==> c= 1/a
ad+b = 0 ==> d =-b/a
luego f'(x) = x/a - b/a
con esa elección hemos visto que fof' = I
pero falta ver que f'of=I
(f'of)(x) = f'[f(x)] = f'(ax+b) = (ax+b)/a -b/a = x + ba - ba = x
Luego está bien existee inversa y es
f'(x) = x/a -b/a
nótese que está definida siempre ya que a no puede ser 0 por definición.
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Bueno esta claro cual será el isomorfismo que debemos probar
T: G --->GL(2,R) T(ax+b) = (a 1) (0 b)
Es obvio que es una aplicación biyectiva, veamos que es un morfismo, par lo cual debe cumplir
T(fog) = T(f) · T(g)
Siendo
f=ax+c
g=cx+d
Ya vimos arriba que
(fog)x = (ac)x + (ad+b)
T(fog) = (ac ad+b) ( 0 1) · Y en el miembro derecho T(f)·T(g)=(a b) (c d) (ac ad+b) (0 1) X (0 1) = ( 0 1 ) Luego se cumple T(fog)=T(f)·T(g)
Asi que T es un morfismo de grupos biyectivo, luego es un isomorfismo.
