Demostraciones de grupos y subgrupos conmutador

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Al elemento xyx^(-1)y^(-1) se le llama conmutador  de x con y.  Y se abrevia de esta forma [x, y]

El subgrupo conmutador no es el subgrupo que contiene todos los conmutadores sino que es más, es el subgrupo generado por todos los conmutadores, hay elementos dentro de G' que no son un conmutador, pero son producto de 2 o de varios.

Para demostrar que G' es normal tenemos que ver que para todo g de G y todo n de G' se cumple g^(-1)ng pertece a G'

El elemento n será un producto de conmutadores

$$\begin{align}&g^{-1}[x_1,y_1]·[x_2,y_2]·[x_3,y_3]···[x_k,y_k]g=\\&\\&\text{metemos elementos neutros entre conmutadores}\\&\\&g^{-1}[x_1,y_1]g·g^{-1}[x_2,y_2]g·g^{-1}[x_3.y_3]··g·g^{.1}[x_k,y_k]g\\&\\&\text{Tenemos es un producto de conjugados de conmutadores}\\&\text{Si demostramos que cualquiera de estos conjugados}\in N\\&\text{su producto también lo estará y queda demostrado}\\&\\&g^{-1}[x,y]g=g^{-1}xyx^{-1}y^{-1}g^=\\&\\&\text{Volvemos a meter elementos neutros entre medias}\\&\\&=g^{-1}xg·g^{-1}yg·g^{-1}x^{-1}g·g^{-1}y^{-1}g=\\&\\&\text{Si llamamos }z=g^{-1}xg  \implies z^{-1} = g^{-1}x^{-1}g\\&\qquad\qquad\quad\;\; t=g^{-1}yg \implies t^{-1}=g^{-1}y^{-1}g\\&\text {tenemos}\\&\\&= ztz^{-1}t^{-1}=[z,t]\in G'\\&\\&\text {resumiendo}\\&\\&g^{-1}[x,y]g \in G'\\&\text{y el producto de varios de ellos}\in G'\\&\text{luego }g^{-1}ng\in G'\\&\text{luego } \; G'\unlhd G\end{align}$$

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Hay que probar que la clase de ab del grupo cociente es la misma que la clase de ba del grupo cociente

Y dos elementos x, y de G pertenecen a la misma clase si

$$\begin{align}&xy^{-1}\in G'\\&\\&ab·(ba)^{-1}=aba^{-1}b^{-1}=[a,b]\in G'\\&\\&\text{luego ab y ba pertenecen a la misma}\\&\text{clase de G/G'. La operación inducida en}\\&\text{el grupo cociente sobre las clases xG' es}\\&\\&aG'·bG' =(ab)G'\\&bG'·aG' = (ba)G' = (ab)G'\\&\\&\text{luego}\\&\\&aG'·bG' = bG'·aG' \end{align}$$

$$\begin{align}& \end{align}$$

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Y eso es todo.