Demostración por inducción matemática para un conjunto finito de funciones
Tengo este problema, no se como resolverlo:
Sean f1(x),..,fn(x) un conjunto finito de funciones derivables en X0, proponer una fórmula para (f1x...fn)´(X0) y demostrar por inducción matemática.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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La fórmula es
$$\begin{align}&(f_1·f_2·f_3···f_n)'(x_0) =\\&\\&(f_1'·f_2·f_3···f_n+f_1·f_2'·f_3···f_n+...+f_1·f_2···f'_n)(x_0)\\&\\&\text{creo que se entiende que son n sumandos}\\&\text{que cada uno tiene el producto de todas las}\\&\text{funciones tal cual salvo una que está derivada}\\&\text{y que se va turnado en cada sumando}\\&\\&\text{1) Para n=1 se cumple } f_1'(x_0)=f_1'(x_0)\\&\\&\text{2) Supongamos se cumple para n}\\&\\&(f_1·f_2···f_{n+1})'(x_0) =[(f_1·f_2···f_n)(f_{n+1})]'(x_0)=\\&\\&[(f_1·f_2···f_n)'f_{n+1}+(f_1·f_2···f_n)f_{n+1}'](x_0)=\\&\\&[(f_1'·f_2·f_3···f_n+...+f_1·f_2···f'_n)f_{n+1}+(f_1·f_2···f_nf_{n+1}')](x_0)=\\&\\&[(f_1'·f_2·f_3···f_nf_{n+1}+...+f_1·f_2···f'_nf_{n+1}+f_1·f_2···f_nf_{n+1}' )](x_0)\\&\\&\text{luego la fórmula sirva para n+1 y la inducción queda demostrada}\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo, espro que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así, pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuar.
