¿Cómo demostrar que este conjunto cumple las ssiguientes características?
$$\begin{align}&\text{Se define un subconjunto I (ideal) de} \mathbb{R[x]} \text{con las siguientes características:}\\&- 0 \in I\\&-f, g \ \in I entonces f+g \in I\\&- f \in \mathbb{R(x)}, g \in I, \ entonces fg \in I\\&\text{Sea $a \in \mathbb{R}$, demuestre que {$f \in \mathbb{R[x]}|f(a)=0$} es un ideal de $\mathbb{R[x]}$ }\\&\end{align}$$Espero puedan ayudarme con esta demostración, saludos.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Hay que demostrar que cumple esas tres propiedades.
1) El 0 de los polinomios R[x] es
0+0x+0x^2+ .....
su valor en a (y en cualquier otro) es 0
Luego el 0 de los polinomios R[x] pertenece al conjunto que nos dicen.
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2) Sean f(x) y g(x) dos polinomios tales que f (a)=g(a) = 0
Entonces el polinomio (f+g)(x) cumple
(f+g)(a) = f(a)+g(a) = 0+0 = 0
Luego el polinomio (f+g)(x) pertenece al conjunto
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3) Sea f(x) un polinomio tal que f(a)=0 y sea g(x) un polinomio cualquiera
El polinomio (f·g)(x) cumple
(f·g)(a) = f(a)·g(a) = 0·g(a) = 0
Luego (f·g)(x) pertenece al conjunto.
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Y eso es todo.
