Hallar fórmula para circulo inscrito

$$\begin{align}&\text{Para hallar la ecuación del círculo inscrito en el triángulo, debemos calcular las bisectrices.La Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo.}\\&\\&entonces:\\&\\&\text{Hallemos las bisectrices:}\\&\text{bisectriz de las rectas x+2y-5=0   y   2x-y-10=0, es:}\\&\\&\frac{x+2y-5}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{2x-y-10}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}\\&\\&\frac{x+2y-5}{\sqrt{5}}=\frac{2x-y-10}{\sqrt{5}}\\&\\&\sqrt{5}(x+2y-5)=\sqrt{5}(2x-y-10)\\&\\&\sqrt{5}x+2\sqrt{5}y-5\sqrt{5}=2\sqrt{5}x-\sqrt{5}y-10\sqrt{5}\\&\\&-\sqrt{5}x+3\sqrt{5}y+5\sqrt{5}=0\\&\\&-x+3y+5=0\\&\end{align}$$

$$\begin{align}&\text{Luego, hallemos las bisectrices:}\\&\text{bisectriz de las rectas x+2y-5=0   y   2x+y+2=0, es:}\\&\\&\frac{x+2y-5}{\sqrt{1^2+2^2}}=-\frac{2x+y+2}{\sqrt{2^2+1^2}}\\&\\&\frac{x+2y-5}{\sqrt{5}}=-\frac{2x+y+2}{\sqrt{5}}\\&\\&x+2y-5=-2x-y-2\\&\\&3x+3y-3=0\\&\\&x+y-1=0\\&\end{align}$$

$$\begin{align}&\text{Por ùltimo, hallemos las bisectrices:}\\&\text{bisectriz de las rectas 2x-y-10=0   y   2x+y+2=0, es:}\\&\\&\frac{2x-y-10}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=-\frac{2x+y+2}{\sqrt{2^2+1^2}}\\&\\&\frac{2x-y-10}{\sqrt{5}}=-\frac{2x+y+2}{\sqrt{5}}\\&\\&2x-y-10=-2x-y-2\\&\\&4x=-2+10\\&\\&x=8/4\\&\\&x=2\\&\\&\end{align}$$

$$\begin{align}&\text{Ya calculamos las bisectrices, las cuales su intersecciòn determinará el centro de la circunferencia que queremos.}\\&\text{entonces, hallemos el punto de intersección de las bisectrices:}\\&\\&x=2\ \ \ \ \ y\ \ \ \ \ \ x+y-1=0\\&\\&(2)+y-1=0\\&\\&y=1-2\\&\\&y=-1\\&\\&\text{luego:}\\&\\&\text{x=2    e      y=-1}\\&\\&\text{entonces, el centro de la circunferencia que queremos serà el punto C(2,-1)}\\&\\&\end{align}$$

$$\begin{align}&\text{Ahora calculamos el radio, que es la distancia del punto C(2,-1) a cualquiera de los lados del triángulo. Escojemos la recta x + 2y - 5 = 0.Usamos otra vez la formula distancia punto recta:}\\&\\&\frac{ \mid   1*(2)+2(-1)-5 \mid   }{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{ \mid   -5 \mid   }{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\\&\\&\text{Finalmente, sabemos que la ecuaciòn de una circunferencia con centro en C(h,k) y radio r es:}\\&\\&(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\\&\\&\text{Sòlo nos queda, sustituir el punto que ya hallamos C(2,-1) y el radio} =\sqrt{5}\ \ \ \ y \ \ \ \ listo\ \ \ \ :D\\&\\&\text{entonces:}\\&\\&(x-2)^2+(y-(-1))^2=(\sqrt{5})^2\\&\\&(x-2)^2+(y+1)^2=5\\&\\&\text{por lo tanto la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas dadas, es:}\\&\\&(x-2)^2+(y+1)^2=5\\&\\&\end{align}$$

y listo!

Si tienes duda, me preguntas :D