Cómo puedo demostrar este teorema
$$\begin{align}&\text{Sea f integrable en [a,b], demostrear que existe k tal que}\\&\int_a^kf(x)dx=\int_k^bf(x)dx\end{align}$$Agradecería sus ideas para este problema.
Respuesta de Jie Long
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Definamos la siguiente función:
$$\begin{align}& \int_a^xf(t)dt - \int_x^bf(t)dt = 0\\& \int_a^xf(t)dt = \int_x^bf(t)dt\end{align}$$Naturalmente es continua, pues es la suma de dos integrales indefinidas, que son continuas. Tenemos pues lo siguiente:
$$\begin{align}&g(a) = \int_a^af(t)dt - \int_a^bf(t)dt = -\int_a^bf(t)dt\\&g(b) = \int_a^bf(t)dt - \int_b^bf(t)dt = \int_a^bf(t)dt\end{align}$$Como si f(a) < 0 entonces f(b) > 0 o si f(a) > 0 entonces f(b) < 0 (o alguno de los dos es 0), por el teorema de Bolzano, existe un x perteneciente al intervalo [a, b] tal que g(x) = 0, lo que demuestra el teorema.
¡Me he hecho un lío con las fórmulas!
La función que definimos es ésta:
$$\begin{align}&g(x) = \int_a^xf(t)dt - \int_x^bf(t)dt\end{align}$$Vemos que es continua y sacamos el resultado del segundo cuadro en mi anterior comentario. Después le aplicamos el teorema de Bolzano y sacamos el resultado del primer cuadro de mi anterior comentario.
Espero que no haya quedado demasiado confuso, ¡Lo siento!
