Hallar la derivada por definicion y graficarla
f(x)=raiz cuadrada y dentro de la raiz, colocamos el valor absoluto de x
2 respuestas
VEamos...
$$\begin{align}&f(x)=\sqrt{|x|}\\&f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|x|+h}-\sqrt{|x|}}{h}\\&\mbox{Separemos los casos, según el valor de x}\\&\mbox{x > 0: (podemos sacar el módulo)}\\&\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\\&\lim_{h \to 0} \frac{x+h- x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\\&\lim_{h \to 0} \frac{1}{(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} \to_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{x}}\\&\mbox{x < 0: (podemos sacar el módulo colocando el signo menos delante de x)}\\&\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{-x+h}-\sqrt{-x}}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{-x+h}-\sqrt{-x}}{h}\frac{\sqrt{-x+h}+\sqrt{-x}}{\sqrt{-x+h}+\sqrt{-x}}=\\&\lim_{h \to 0} \frac{-x+h- (-x)}{h(\sqrt{-x+h}+\sqrt{-x})}=\lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{-x+h}+\sqrt{-x})}=\\&\lim_{h \to 0} \frac{1}{(\sqrt{-x+h}+\sqrt{-x})} \to_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{-x}}\\&\mbox{Si x=0, no me sale ni el modo de demostrarlo ni como negar su existencia, pero como |x| No tiene derivada en cero, supongo que esta función tampoco la tendrá}\end{align}$$
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La función valor absoluto por trozos podemos describirla así
|x| = -x si x<0
= x si x>=0
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Si x<0 existirá un delta donde (x-delta, x+delta)<0
Y por lo tanto en todos los puntos de ese entorno el valor de la función es -x
Entonces la derivada será:
$$\begin{align}&Si\;x\lt0\implies\\&\\&\left(\sqrt{|x|}\right)'=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{-(x+h)}-\sqrt{-x}}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{-(x+h)-(-x)}{h·\left( \sqrt{-(x+h)}+\sqrt{-x} \right)}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{-h}{h·\left( \sqrt{-(x+h)}+\sqrt{-x} \right)}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{-1}{\left( \sqrt{-(x+h)}+\sqrt{-x} \right)}=\frac{-1}{2 \sqrt{-x}}\\&\\&\\&\text{Analogamente si }x\gt 0\\&\\&\left(\sqrt{|x|}\right)'=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)}-\sqrt{x}}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h·\left( \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \right)}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{h}{h·\left( \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \right)}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{1}{\left( \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \right)}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\\&\\&\\&\text{Y si x=0}\\&\\&\left(\sqrt{|0^-|}\right)'=\lim_{h\to 0^-}\frac{\sqrt{-h}-0}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-1}{\sqrt{-h}}\to -\infty\\&\\&\left(\sqrt{|0^+|}\right)'=\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{h}-0}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{1}{\sqrt{h}}\to +\infty\end{align}$$Luego en x=0 no existe derivad no solo por ser infinita sino por ser distinto infinito según el lado por el que se calcula.
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Y eso es todo.
Esta es la gráfica que se me olvidó.
En rojo la función y en azul y verde la derivada.
¡Gracias! profesor le estoy muy agradecida por ayudarme a salir adelante en este curso, cuando empiece mi carrera se que no tendré tropiezos por los conocimientos que ustedes me han brindado