¿Cómo resolver este ejercicio de optimización?
La iluminación de un objeto por una fuente luminosa es directamente proporcional a la intensidad de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de esta fuente. Si se colocan dos fuentes luminosas, una tres veces más fuerte que la otra, separadas a una distancia de tres metros. ¿Dónde debe colocarse un objeto sobre la recta entre las dos fuentes de manera que reciba la iluminación mínima?
2 respuestas
Si una fuente está a una distancia x de la posición óptima, la ota está a 3-x:
$$\begin{align}&I(x)=\frac{3ki}{x^2}+\frac{ki}{(3-x)^2}=ki(\frac{3}{x^2}+\frac{1}{(3-x)^2})\\&\\&I'(x)=ki \Bigg(\frac{-6}{x^3}+\frac{2}{(3-x)^3} \Bigg )\\&\\&I'(x)=0\\&\\&\frac{6}{x^3}=\frac{2}{(3-x)^3}\\&\\&3(3-x)^3=x^3\\&\\&4x^3-27x^2+81x-81=0\\&\\&x \simeq 1.7716\\&\\&\\&\\&\end{align}$$Ecuación resuelta con un programa
$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Pedro!
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Sea d la distancia del objero a la fuente más potente, la iluminación que recibirá es
$$\begin{align}&I(d) = \frac{3}{d^2}+\frac{1}{(d-3)^2}\\&\\&\text {derivamos e igualamos a 0}\\&\\&I'(d)=\frac{-6}{d^3}-\frac {2}{(d-3)^3}=0\\&\\&-6(d-3)^3-2d^3=0\\&\\&3(d-3)^3 + d^3 =0\\&\\&3d^3-9d^2+27d-81+d^3=0\\&\\&4d^3-9d^2+27d-81=0\end{align}$$Y ese es un polinomio que no tiene raíces racionales, luego solo sentido que nos pongan una ecuación como esa cuando estemos en el tema de teoria de ecuaciones, y como no estamos en él buscaremos las soluciones con un programa de ordenador. Hay dos soluciones complejas que no nos interesan y la real es esta
d=2.621617501110376
Luego a esa distancia de la fuente de más potencia hay que colocar el objeto. Es obvio que es el mínimo, porque a distancia 0 de cualuiera de las fuentes recibiría iluminación infinita.
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Y eso es todo.
Por correr lo hice mal, tenía que haber hecho 3(d-3)^3 en dos pasos
$$\begin{align}&3(d-3)^3 + d^3 =0\\&\\&3(d^3-9d^2+27d-27)+d^3=0\\&\\&4d^3-27d^2+81d-81=0\\&\\&d=1.771624310441628\end{align}$$Y esa es la distancia a la fuente de mayor intensidad.