Dificultad con este problema de estimación en estadística
4. Supongamos que el tiempo en horas dedicado por los estudiantes de una determinada asignatura a preparar el examen final tiene una distribución normal. Se toma una muestra aleatoria de 6 estudiantes cuyos resultados son los siguientes: 12.2, 18.4, 23.1, 11.7, 8.2,24
a. Calcular un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional.
b. Calcular un intervalo de confianza del 99% para la varianza poblacional.
c. Sin realizar los cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 90% tendría una amplitud mayor o menor que el hallado en el apartado b.
1 Respuesta
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Calcularemos la media, s y s^2 que los necesitaremos
$$\begin{align}&\overline X=\frac{12.2+18.4+23.1+11.7+8.2+24}{6}=\\&\frac{97.6}{6}=16.2666...\\&\\&s^2=\frac{\sum_{i=1}^6 (X_i-16.2666)}{5}=\frac{213.51333...}{5}=\\&42.702666...\\&\\&s=\sqrt{42.702666...}= 6.534727742\\&\\&\\&\text{a) El intervalo de confianza para la media con}\\&\text{muestras pequeñas y desconociendo la varianza es:}\\&\\&I=\left[\overline X-t_{n-1,\alpha/2}\frac{s}{\sqrt n},\;\overline X+t_{n-1,\alpha/2}\frac{s}{\sqrt n} \right] \\&\\&\alpha=1-0.99=0.01\\&\alpha/2 = 0.005\\&n=6\\&t_{5,\,0.005}=4.0321\\&\\&I=\left[16.2666-4.0321\frac{6.534727742}{\sqrt 6},\;16.26666-4.0321\frac{6.534727742}{\sqrt 6} \right] =\\&\\&[5.509864845, \;27.023446849]\\&\\&b) \text{Y el intervalo de confianza para la varianza es}\\&\\&\left[\frac{(n-1)s^2}{\chi_{n-1,\;\alpha/2}^2} ,\; \frac{(n-1)s^2}{\chi_{n-1,\;1-\alpha/2}^2}\right]=\\&\\&\left[\frac{5·42.702666...}{\chi_{5,\;0.05}^2} ,\; \frac{5·42.702666...}{\chi_{5,\;0.995}^2}\right]=\\&\\&\left[\frac{213.51333...}{16.7496} ,\; \frac{213.51333..}{0.4118}\right]=\\&\\&[12.74736909,\;518.4879391]\end{align}$$c) Tendrá una longitud menor, para englobar el 90% de la varianza posible se necesita un intervalo menor que para englobar el 99%.
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Y eso es todo.
