¿Como resuelvo estos dos ejercicios de progresiones aritméticas?
Los encuentro difíciles, quiero la forma más fácil de hacerlos.
1 Respuesta
Si a, b, c están en progresión aritmética tendremos
b = a+d
c = b+d = a + 2d
Y los valores que debemos calcular son
A = a^2+b^2+ab = a^2 + a^2+ 2ad + d^2 + a^2 + ad = 3a^2 + 3ad + d^2
B = a^2+c^2+ac = a^2 + a^2 + 4ad + 4d^2 + a^2 +2ad = 3a^2+ 6ad + 4d^2
C = b^2+c^2+bc = a^2+2ad+d^2 + a^2+4ad+4d^2 + (a+d)(a+2d)=
2a^2 + 6ad + 5d^2 +a^2+2ad+ad+2d^2 = 3a^2 + 9ad + 7d^2
Veamos si las diferencias B-A y C-B son iguales
B-A = 3a^2+ 6ad + 4d^2 - 3a^2 - 3ad - d^2 = 3ad + 3d^2
C-B = 3a^2 + 9ad + 7d^2 - 3a^2 - 6ad - 4d^2 = 3ad +3d^2
Sí, lo son, luego están en prodresión aritmética.
·
2)
La formula para la suma de n terminos de una sucesión aritmética es
a1, a2, a3, ..., an es
$$\begin{align}&S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\\&\\&\text{Si tenemos en cuenta que}\\&\\&a_n=a_1+(n-1)d\\&\\&S_n=\frac{n(a_1+a_1+(n-1)d)}{2}=\\&\\&\frac{n(dn+2a_1-d)}{2}=\\&\\&\frac{dn^2+(2a_1-d)n}{2}\\&\\&\text{Y esto debe ser igual a lo que nos dan para todo n}\\&\\&n(3n+1) = 3n^2+n\\&\\&luego\\&\\&\frac{dn^2+(2a_1-d)n}{2}=3n^2+n\\&\\&\text{para que el término de } n^2\text{ sea igual}\\&\\&\frac d2=3 \implies d=6\\&\\&\text{Y para que sea igual el de n}\\&\\&\frac{2a1-d}{2}=1\\&\\&\frac{2a_1-6}{2}=1\\&\\&2a_1-6=2\\&\\&2a_1=8\\&\\&a_1=4\\&\\&\text{Luego la sucesión es}\\&\\&4, 10, 16, 22, 28\\&\\&a_n=6n-2\end{align}$$·
Y si ya está bien, no olvides puntuar.
En el segundo ejercicio no entendi como saco a1 (el primer término) y d ¿podria explicarlo de nuevo?
La fórmula de la suma de n términos de una sucesón aritmética la tienes que tener en la teoría
$$\begin{align}&s_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\\&\\&\text{Asi por ejemplo}\\&\\&1,4,7, 10, 13\\&\\&S_5=\frac{5(1+13)}{2}= \frac{5·14}{2}=35\\&\\&\text{El temino general de una sucesión es}\\&\\&a_n= a_1+(n-1)d\\&\\&\text{por ejemplo en la de antes}\\&\\&a_5 = 1+(5-1)·3 = 1 +12 = 13\\&\\&\text{Si en la fórmula de la suma sustituimos }a_n\\&\\&S_n=\frac{(a_1+a_1+(n-1)d)n}{2}=\\&\\&\frac{(2a_1+nd-d)n}{2}=\frac{d}{2}n^2+\frac{(2a_1-d)}{2}n\\&\\&\text{Y esto debe ser igual que la formula que nos han dado,}\\&\text{pero para todo n. Eso salo se consigue si son el mismo}\\&\text{polinomio en n}\\&\\&\text{el polinomio que nos han dado es}\\&\\&n(3n+1) = 3n^2+n\\&\\&\text{Y deben ser idénticos}\\&\\&\frac{d}{2}n^2+\frac{(2a_1-d)}{2}n=3n^2+n\\&\\&\text{luego los coedicientes de términos semejantes}\\&\text{deben ser iguales}\\&\\&1)\quad \frac d2=3\\&\\&2) \quad \frac{2a_1-d}{2}=1\\&\\&\text{de la primera ecuación obtenemos}\\&\\&d=6\\&\\&\text{Y con eso vamos a la segunda}\\&\\&\quad \frac{2a_1-6}{2}=1\\&\\&2a_1-6 = 2\\&\\&2a_1=8\\&\\&a_1=\frac 82 = 4\\&\end{align}$$Y eso es todo, debes distinguir entre la que es una igualdad y lo que es una identidad. Una igualdad puede tener un conjunto finito de valores que la cumplen (las soluciones) y se resuelve como una ecuación, mientras que una identidad se cumple para todos los valores posibles y su solución puede dar lugar a dos o más ecuaciones.
