Problema de inferencia estadística (estimación)
8. Una empresa eléctrica fabrica bombillas y su tiempo de duración se distribuyen aproximadamente normal, con una varianza de 1296. Se ensaya una muestra de 35 bombillas y arroja una duración promedia de 800 horas.
a. Hallar una estimación puntual para la media poblacional. De una interpretación
b. Con un nivel de confianza del 95% estime la media población de todos las bombillas que produce la empresa. Interprete los resultados.
c. ¿Cuántas bombillas se deben probar para un nivel de confianza 95%, si se desea que nuestra estimación puntual este dentro de las 10 horas de la media real? Interprete el resultado obtenido.
d. Con relación al punto anterior. Que le ocurre al tamaño de la muestra sí: ¿Sí aumente el nivel de confianza? ¿Si se disminuye la varianza? ¿Si se disminuye el error de estimación?. Haga una conclusión de lo observado.
1 Respuesta
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¿Por qué 35 bombillas? Voy a hacerlo con 36, creo que serán esas.
a) La estimación de la media poblacional es la media muestral, luego es 800 horas.
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b)
La estimación de la media de la población es el intervalo de confianza para la media. Ya sabemos que el coeficiente de confianza para el 95% es 1.96
Fíjate también que te han dado la varianza, no lo desviación, habrá que sacar su raíz cuadrada para usarla en la fórmula.
$$\begin{align}&I=\overline x\mp z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt n}=\\&\\&800\mp1.96 \frac{\sqrt{1296}}{\sqrt {36}}=\\&\\&800\mp 1.96 \frac{36}{6}=\\&\\&800\mp 1.96·6 =\\&\\&800\mp 11.76\\&\\&I=[788.24,\;811.76]\end{align}$$c)
El radio del intervalo de confianza es el sumando este que se resta y se suma. Ese radio es el que quieren que valga 10.
$$\begin{align}&10 = z_{\alpha/2}·\frac{s}{\sqrt n}\\&\\&10 = 1.96·\frac{36}{\sqrt n}\\&\\&10 = \frac{70,56}{\sqrt n}\\&\\&\sqrt n=\frac{70.56}{10}= 7.056\\&\\&n=7.056^2=49.78\end{align}$$Y hay que tomar 50 porque si se toma 49 no se se puede asegurar el 95% de probabilidad comprendida en [790, 810]
Aunque hubiera dado 49.00001 habría que haber tomado 50 bombillas.
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d)
El tamaño de la muestra está en el denominador y el nivel de confianza proporciona z sub alfa/2 en el numerador. Y a mayor nivel de confianza mayor es z sub alfa/2. Luego si aumentamos el nivel de confianza aumenta el numerador y debe aumentar también el denominador para que el cociente valga lo mismo.
Luego si aumenta el nivel de confianza debe aumentar el tamaño de la muestra.
La varianza proporciona la desviación que es directamente proporcional a la primera y está en el numerador. Luego es el mismo caso que el anterior y si disminuye el numerador deberá disminuir el denomnador. Luego si disminuye la varianza debe disminuir el tamaño de la muestra.
Si disminuye el error de estimación lo que disminuye es
s / sqrt(n)
Un cociente con numerador constante disminuye si aumenta el denominador, luego el tamaño de la muestra ha crecido.
Conclusión: se necesitarán muestras muestra de más tamaño para niveles de confianza o varianzas mayores.
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Y eso es todo.
