Asegurar que una potencia equivale a un radical

$$\begin{align}&\text{Para demostrar ésta cuestión, necesitaremos dos cosas:}\\&\\&1. \ \ \text{La definición de radicación:}\\&\sqrt[n] {a^m}=a^{\frac{m}{n}},\ \ \text{Donde a es la base, m el exponente y n el índice.}\\&\\&2.\ \ \text{El siguiente teorema sobre potenciación:}\\&(\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m}\end{align}$$

$$\begin{align}&\text{Teniendo esto, procederemos a demostrarlo:}\\&\\&(\frac{2}{3})^{1/2}=\frac{2^{1/2}}{3^{1/2}}=\frac{1.41421}{1.73205}=0.816497\\&\\&además:\\&\\&\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{1.41421}{1.73205}=0.816497\\&\\&\text{Se observa que los dos resultados son iguales, entonces, se demustra así que:}\\&\\&(\frac{2}{3})^{1/2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\end{align}$$

listo!

Cualquier duda, me dices :)

Creo que el planteo de Yuri está bien encarado, pero que las dos expresiones sean iguales no asegura nada (ya que ambas fracciones son irracionales y nada asegura que en el dígito 153 (por decir cualquier cosa) no haya una diferencia).

Creo que tomando lo que planteó él, hay que cambiar ligeramente el planteo de la solución y sería

$$\begin{align}&\Bigg(\frac{2}{3}\Bigg)^{1/2}=\frac{2^{1/2}}{3^{1/2}}=\frac{\sqrt{2^1}}{\sqrt{3^1}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\end{align}$$

y listo, pues partiendo de una expresión, mediante igualdades hemos llegado a la otra expresión, así que se demuestra la igualdad.