Cómo resolver este ejercicio y realizar su gráfica.

Tenemos 4 puntos, así que voy a intentar escribir una ecuación genérica para intentar deducir la expresión general

$$\begin{align}&Intentaré\ hallar\ r=f(\theta)\\&General\\&r=a  + b\ sen(\theta+c) + d\ \cos(\theta)\\&Ahora,\ reemplazaré\ los\ valores\ que\ tenemos:\\&5 = a+b sen(\pi/2 + c)+ d \cos(\pi/2)\\&2 = a+b sen(\pi + c)+ d \cos(\pi)\\&1 = a+b sen(3 \pi/2 + c)+ d \cos(3 \pi/2)\\&2 = a+b sen(0 + c)+ d \cos(0)\\&\text{Voy a evaluar los cosenos...}\\&5 = a+b sen(\pi/2 + c)\\&2 = a+b sen(\pi + c)- d\\&1 = a+b sen(3 \pi/2 + c)\\&2 = a+b sen( c)+ d\\&Sabiendo\ que\ sen(\alpha + \beta)=sen(\alpha)\cos(\beta) + sen(\beta)\cos(\alpha)\\&5 = a+b \cos(c)\\&2 = a-b sen(c)- d\\&1 = a-b \cos(c)\\&2 = a+b sen( c)+ d\\&\text{Sumando las ecuaciones 1 y 3 por un lado y 2, 4 por otro, se llega a que}\\&a=4 \ y\ a=6, \text{lo que no puede ser, así que asumo que la tercer ecuación no se ve el signo }\\&\text{negativo y en realidad el punto dado es en realidad }(-1, \frac{3}{2} \pi)\text{, quedando de este modo las siguientes ecuaciones}\\&5 = a+b \cos(c)\\&2 = a-b sen(c)- d\\&-1 = a-b \cos(c)\\&2 = a+b sen( c)+ d\\&\text{ahora sí, sumando (1)+(3) ó (2)+(4), llegamos a: } a=2\\&Reescribimos, \ reemplazando\ lo\ conocido\\&3 = b \cos(c)\\&0 = -b sen(c)- d\\&-3 =-b \cos(c)\\&0 = b sen( c)+ d\\&\text{Quedan dos ecuaciones equivalentes a las otras dos, así que podemos quedarnos con}\\&3 = b \cos(c)\\&0 = b sen(c)+d\\&\text{Tengo mas incognitas, que ecuaciones, asumo:}\\&b=3, c=0 \text{que cumple la primer ecuación} yqueda\\&0 = 3 sen(0) +d \to d=0\\&\text{por lo tanto los valores son:} a=2,b=3,c=0,d=0 \text{, quedando la expresión original}\\&r=2+3sen(\theta)\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

Dejo la solución hasta acá, porque:

1) Me tengo que ir

2) No confío en el editor de texto de esta página

Intenta avanzar desde acá, igualmente luego veré de seguir esta pregunta