¿Ejercicio de Geometría A. Como resuelvo?

Primero hagamos una circunferencia con centro en A y radio AC y luego hagamos otra circunferencia con centro en B y radio BC. Luego igualemos ambas circunferencias y veamos que pasa. Las opciones son:

1. Las circunferencias no se cortan, por lo tanto el sistema no tiene solución y no puedes construir el triángulo

2. Las circunferencias se cortan en 1 solo punto, lo que significa que los 3 puntos están alineados sobre una recta y tampoco será posible construir un triángulo

3. Las circunferencias se cortan en 2 puntos, por lo que será posible construir 2 triángulos

"4". Existe una cuarta posibilidad y es que ambas circunferencias se corten en todos los puntos (sean la misma), aunque esto se ve fácilmente que no es así.

Ahora hagamos un poco de cuentas...

$$\begin{align}&\text{Ecuación de una circunferencia, centrada en el punto (a,b) con radio r}\\&(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\\&\text{Ecuación de la circunferencia centrada en el punto A}\\&(x-(-5))^2+(y-(-2))^2=(4 \sqrt{5})^2\\&\text{Ecuación de la circunferencia centrada en el punto B}\\&(x-4)^2+(y-(-5))^2=(5 \sqrt{2})^2\\&Haciendo un poco de cuentas...\\&x^2+10x+25+y^2+4y+4=80\\&x^2-8x+16+y^2+10y+25=50\\&Acomodando\\&x^2+10x+y^2+4y=51...............(1)\\&x^2-8x+y^2+10y=9.................(2)\\&Restando\ ambas\ ecuaciones\\&18x - 6y = 42 \to y=3x-7\\&Reemplazo\ en\ la\ ecuación\ (1)\\&x^2+10x+(3x-7)^2+4(3x-7)=51\\&x^2+10x+9x^2-42x+49+12x-28=51\\&10x^2-20x-30=0\\&x^2-2x-3=0\\&x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2}\\&x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2}\\&x_1=3\\&x_2=-1\\&Si\ x=3 \to y=3 \cdot3-7=2 \to C=(3,2)\\&Si\ x=-1 \to y=3 \cdot(-1)-7=-10 \to C=(-1,-10)\end{align}$$