Como me guio para resolver este ejercicio de G.A?
Como me guio para resolver el problema de geometria analitica?
2 respuestas
La ecuación de la recta que pasa por 2 puntos es:
$$\begin{align}&\frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\\&Para\ la\ recta\ 1\\&\frac{y-2}{5-2}=\frac{x-(-1)}{0-(-1)}\\&y-2=3(x+1)\\&y=3x+5\\&\text{Esta ecuación la podemos escribir como } r_1: 3x-y+5=0\\&\text{La otra recta es (la incognita la reemplazo por a, para diferencias las "y")}\\&\frac{y-0}{a-0}=\frac{x-2}{-4-2}\\&y=-\frac{a}{6}x+\frac{a}{3}\\&\text{La segunda recta la podemos escribir como } r_2: \frac{a}{6}x+y-\frac{a}{3}=0\\&\text{Sabemos que dados los vectores directores de dos rectas u, v, la relación con el ángulo que forman viene dado por la expresión}\\&\cos \alpha = \frac{|u_x\cdot v_x+u_y\cdot v_y|}{|u|\cdot|v|}\\&y\ \cos 45°=\frac{\sqrt {2}}{2}\\&\text{Los vectores directores de las rectas que tenemos son:}\\&r_1: (1,3)\\&r_2: (-1, a/6)\\&\text{ y ahora necesitamos calcular a, para que se cumpla lo anterior}\\&\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1\cdot (-1)+ 3 \cdot a/6}{\sqrt{(1^2+3^2)}+\sqrt{((-1)^2+(a/6)^2)}}\\&\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a/2-1}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{1+(a/6)^2}}\\&\\&\end{align}$$Se me hizo tarde y tengo que dejarte, pero a partir de acá te quedaría despejar el valor de "a". Intentá resolverlo solo, sino en cuanto me libere voy a intentar terminarlo.
A ver si puedo avanzar un poco más... retomando la última expresión
$$\begin{align}&\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a/2-1}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{1+(a/6)^2}}\\&\text{Elevo todo al cuadrado para eliminar esas raices}\\&\bigg(\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)^2=\frac{(a/2-1)^2}{(\sqrt{10}\cdot \sqrt{1+(a/6)^2})^2}\\&\frac{1}{2}=\frac{a^2/4-a+1}{(10\cdot (1+(a/6)^2)}\\&10+\frac{5}{18}a^2=\frac{a^2}{2}-2a+2\\&\frac{-2}{9}a^2+2a+8=0\\&multiplico\ por -9/2\\&a^2-9a-36=0\\&a_{1,2}=\frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2-4(1)(-36)}}{2}\\&a_{1,2}=\frac{9 \pm \sqrt{225}}{2}\\&a_1=12\\&a_2=-3\\&Retomando\ la\ ecuación\ original\ y=-\frac{a}{6}x+\frac{a}{3}\\&y_1=-2x+4\\&y_2=\frac{x}{2}-1\\&\text{Recordando que la otra recta era: } y = 3x+5\\&\\&\end{align}$$Ahora sí, creo que es todo y como era de esperar, para una recta dada, hay dos rectas que forman ángulo de 45°
Fijate que vos tenías como respuesta "y"=12, que es una de las opciones que yo te pasé, pero en realidad existe otra cuando "y"=-3
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La recta que pasa por los dos puntos primeros se calcula tal como lo hizo Gustavo
y=3x+5
tiene una pendiente que llamaremos m1=3
Hay una fórmula que relaciona el ángulo y las pendientes de las rectas
$$\begin{align}&tg\;\alpha= \left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2} \right|\\&\\&tg 45º=\left|\frac{m_2-3}{1+3m_2} \right|\\&\\&\text{Esto da dos ecuaciones}\\&\\&1)\quad1+3m_2=m_2-3\\&\qquad 2m_2=-4\\&\qquad m_2=-2\\&\\&2)\quad -1-3m^2=m_2-3\\&\qquad -4m_2=-2\\&\qquad m_2=1/2\\&\\&\\&\text {y las rectas serán}\\&\\&1)\quad y=-2x+b\\&2)\quad y=\frac x2+b\\&\\&\text {para pasar por (2,0)}\\&\\&1)\quad 0=-4+b\implies b=4\implies y=-2x+4\\&2)\quad 0=1+b\implies b=-1 \implies y =\frac{x}{2}-1\\&\\&\text{Y el valor en x=-4 será}\\&\\&1)\quad y=-2(-4)+4=12\\&2) \quad y=-2-1=-3\\&\end{align}$$Y eso es todo.