Matemática Aplicada ¿De que tipos de curvas?

En el link siguiente te dejo la teoría que voy a utilizar...

http://dv.ujaen.es/docencia/data/docencia/lm_data/lm_74449/3.9.3.htm

Ahora vamos a tu ejercicio

$$\begin{align}&\text{Las curvas con forma de parábola, tienen la forma}\\&y=ax^2+bx+c\\&\text{Escribiendo esa expresión como función de x,y; tenemos}\\&f(x,y)=y-ax^2-bx=C \ \text{  (puse C, para diferenciarla de c ya que está escrita en forma general y serían distintas}\\&Diferenciando\ respecto\ a\ x\\&1 dy/dx - 2ax -b=0\\&dy/dx=2ax+b\\&\text{Sabemos que las rectas ortogonales, tendran pendientes tal que al multiplarlas debe dar -1, luego}\\&Función \ Ortogonal\\&dy/dx=\frac{-1}{2ax+b}\\&\text{Calculamos la ecuación diferencial (es sencilla ya que son variables separadas):}\\&dy=\frac{-1}{2ax+b}dx\\&Integramos\\&\int dy=\int \frac{-1}{2ax+b}dx\\&y = -\frac{ln(2ax+b)}{2a}\end{align}$$

y esa es la familia de curvas ortogonales a las parábolas

·

Calculamos las parábolas con vértice en (1, 2)

En principio tomamos todas las parábolas posibles

y = ax^2 + bx + c

el vértice de una parábola está en el punto con coordenada

x=-b/2a

luego

1=-b/2a

2a=-b

b=-2a

y el valor de y en esa punto debe ser 2, luego

a·1^2 - 2a·1 + c = 2

a - 2a + c = 2

c = 2+a

Luego la familia de parábolas con vértice en (1, 2) es

y = ax^2 - 2ax + a+2

su derivada es

y' = 2ax - 2a = 2a(x-1)

Las curvas ortogonales deberán tener derivada opuesta e inversa

$$\begin{align}&y' = -\frac 1{2a(x-1)}\\&\\&\text{integrando queda}\\&\\&y = -\frac{1}{2a}·ln|x+1|+ k\end{align}$$

Es una familia de curvas dependiente de dos parámetros, la a y la k que si quieres puedes llamar con otros nombres como C_1 y C_2 por ejemplo.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar a los que te hemos respondido.