Hallar el área de una superficie lateral del solido - calculo integral

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La fórmula para hallar la superficie generada al girar una curva alrededor del eje X es

$$\begin{align}&S=2\pi\int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}\;dx\\&\\&tenemos\\&a=3,\;b=8\\&f(x)= 2 \sqrt x\\&f'(x)=\frac{1}{\sqrt x}\\&\\&S=2\pi\int_3^8 \sqrt{1+\frac 1x}\;dx\\&\\&t=\sqrt{1+\frac 1x}\implies t^2 =\frac{x+1}{x}\implies x=\frac 1{t^2-1}\implies\\&dx=\frac{-2t}{(t^2-1)^2}\\&x=3\implies t=\sqrt{1+\frac 13}=\frac{2}{\sqrt 3}\\&x=8\implies t=\frac{3}{\sqrt 8}\\&\\&S=-2\pi\int_{2/ \sqrt 3}^{3/\sqrt 8} \frac{2t^2}{(t^2-1)^2}dt=\\&\\&4\pi\int_{3/\sqrt 8}^{2/\sqrt 3}\frac{t^2}{(t+1)^2(t-1)^2}dt\\&\\&\text{las fraccciones simples son}\\&\\&\frac{a}{t+1}+\frac{b}{(t+1)^2}+\frac{c}{t-1}+\frac{d}{(t-1)^2}=\\&\\&\frac{a(t+1)(t-1)^2+b(t-1)^2+c(t-1)(t+1)^2+d(t+1)^2}{(t+1)^2(t-1)^2}\\&\\&\text{el numerador debe ser } t^2\\&\\&Para\; t=1\implies 1=d(1+1)^2\implies d=\frac 14\\&Para\; t=-1\implies 1=b(-1-1)^2\implies b=\frac 14\\&Para\; t=0\implies 0=a+\frac 14-c+\frac 14\implies -a+c=\frac 12\\&Para\;  t=2\implies 4=3a+\frac 14+9c+\frac 94 \implies \\&3a+9c=\frac 32\implies \\&\\&\text{multiplico la anterior por 3 y la sumo a esta}\\&\\&12c=3\implies c=\frac 14\implies a=c-\frac 12=-\frac 14\\&\\&S= \pi\int_{3/\sqrt 8}^{2/\sqrt 3} \left(-\frac{1}{t+1}+\frac{1}{(t+1)^2}+\frac{1}{t-1}+\frac{1}{(t-1)^2}  \right)dt=\\&\\&\pi\left[-ln|t+1|-\frac{1}{t+1}+ln|t-1|-\frac 1{t-1}  \right]_{3/\sqrt 8}^{2/\sqrt 3}=\\&\\&\pi\left[ln|t-1|- ln|t+1|-\frac{2t}{t^2-1}  \right]_{3/\sqrt 8}^{2/\sqrt 3}=\\&\\&\pi\left[ ln\left(\frac{2-\sqrt 3}{\sqrt 3}  \right)-ln \left(\frac{2+ \sqrt 3}{\sqrt 3}  \right)-4 \sqrt 3-ln\left(\frac{3-\sqrt 8}{\sqrt 8}  \right)+ ln\left(\frac{3+\sqrt 8}{\sqrt 8}  \right)+6 \sqrt 8\right]=\\&\\&\pi \left[ln(2-\sqrt 3)-ln(2+ \sqrt 3 )-4 \sqrt 3-ln(3-\sqrt 8)+ ln(3+\sqrt 8)+6 \sqrt 8\right]\approx\\&\\&10.93393807243017 \pi \approx 34.34997952315238\\&\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Está comprobado con ordenador que la respuesta está bien.

Siento haber tenido que acelerar algunos paso pero es que el ordenador no podía con tanto LaTeX.

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