Anónimo
Tenemos que G y H son grupos abelianos finitos. Si GxG≅HxH, ¿G es isomorfo a H?
Me da gusto estar en contacto, espero que me pueda ayudar con esta pregunta de álgebra moderna II, a la que tampoco le entiendo mucho.
1 Respuesta
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Existe un isomorfismo f de
f: GxG ---> HxH
f(g1,g2) = (h1,h2)
Sea
p: HxH ----->H la función proyección de la primera coordenada
p(h1,h2) = h1
tomemos la función
q: G ----> H
q(g) = p[f(g,1)]
veamos que q es un isomorfismo, es decir, que
q(g1·g2) = q(g1)·q(g2)
q(g1·g2) = p[f(g1·g2,1)] = p[f(g1·g2, 1·1)] = p(f[(g1,1)·(g2,1)]) =
como f es homomorfismo
p[f(g1,1)·f(g2,1)]=p[f(g1,1)]·p[f(g2,1)]= q(g1)·q(g2)
Ahora veamos que es inyectiva.
Sea q(g1) = q(g2)
p[f(g1,1)] = p[f(g2,1)]
...
Y aquí es donde me quedo completamente atascado, yo de eso no puedo deducir que f(g1, 1)=f(g2, 1) ya que la segunda coordenada podría ser distinta. Intento demostrar que la segunda coordenada de f(g, 1)=1 pero no puedo.
El Álgebra es bastante complicada y no soy especialista en ella, seguramente este ejercicio viene después de una teoría, teoremas y ejercicios que facilitan resolverlo y sin los cuales yo no puedo hacerlo, ya que por no saber a lo mejor lo intentaría de una forma demasiado compleja para la solución que debe darse.
Saludos.
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