Anónimo
Principios de superposición, dependencia e independencia lineal
Me podrían Ayuda para resolver estos ejercicios por favor.
3 respuestas
Son demasiados ejercicios para una sola pregunta. Te dejo la última parte de ecuaciones diferenciales
$$\begin{align}&a) 4y''-2y'-6y=0\\&\text{Planteando la Ec característica}\\&4m^2-2m-6=0\\&m_{1,2}=\frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot4\cdot(-6)}}{2\cdot4}=\frac{2\pm 10}{8}\\&m_1=3/2=1.5\\&m_2=-1\\&Solución\\&y=C_1e^{3/2x}+C_2e^{-x}\\&\\&b) y''-8y'+16y=0\\&\text{Planteando la Ec característica}\\&m^2-8m+16=0\\&m_{1,2}=\frac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot1\cdot(16)}}{2\cdot1}=\frac{8\pm 0}{2}\\&m=4\ (doble)\\&Solución\\&y=C_1e^{4x}+C_2x e^{4x}\\&\end{align}$$
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Te ayudo con el segundo ejercicio:
Hice uso de una herramienta informática hermano, el inglés no es tan complicado.
Un cordial saludo!
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¡Hola Anónimo!
Yo haré algo del primero.
1a)
Son linealmete dependientes
f2(x) = x^2
f3(x) = 3x^2
Tienes
3·F2(x) - f3(x) = 0 para todo x de (-inf, inf)
·
1b)
Son linealmente dependientes, tienes
f1(x) - 8·f2(x) - 8f3(x) =
8 - 8cos^2(x) - 8sen^2(x) =
8 - 8[cos^2(x)+sen^2(x) =
8 - 8·1 = 0 para tdo x de (-inf, inf)
·
1c)
f1(x)=2x
f2(x)=2x+1
f3(x)=3x+2
Son dependientes porque son funciones de dos parámetros lo que daría un espacio vectorial de dimensión 2 y todo conjunto de más de dos vectores es dependiente. Pero vamos a hacerlo por definición
2 0
2 1
3 2
Hacemos las típicas operaciones de filas
2 0
0 1
0 2
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2 0
0 1
0 0
Las operaciones hechas en la tercera fila han sido
f3-(3/2)f1 - 2(f2-f1) = f3 + (1/2)f1-2·f2
Lo comprobamos
3x+2 + (1/2)2x - 2(2x+1) =
3x + 2 + x - 4x +2 = 0
Luego
f3(x) + (1/2)f1(x) - 2·f2(x) = 0 para todo x de (-inf, inf)
·
1d)
f1(x) = 3-x
f2(x) = x+1
f3(x) = x^2 + 2
las ponemos como vectores con el orden ax^2+bx+c
0 -1 3
0 1 1
1 0 2
a la primera le sumamos la segunda
0 0 4
0 1 1
1 0 2
El determinante de esto es 1·1·4 = 4
Luego los vectores son independientes.
Esas tres funciones son linealmente independientes.
·
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.
Saludos.
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