Transformaciones lineales: transformar la recta L1 en la recta L2.
Espero puedan ayudarme :)
Hallar todas las transformaciones lineales T: R2 --> R2, tales que convierten la recta L1:
$$\begin{align}&L_1=[(x,y) / y=2x ]\end{align}$$en la recta L2:
$$\begin{align}&L_2 = [ (x,y) / y=3x ]\end{align}$$Y la matriz de representación de T con respecto a la base canónica.
1 Respuesta
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¡Hola Monse!
La transformación lineal T será
(a_11 a_12) (x) (a_11·x + a_12·y)
T(x,y) = (a_21 a_22) x (y) = (a_21·x + a_22·y)
debe transformar la recta y=2x en y=3x
luego los puntos (t, 2t) debe transformarlos en (s,3s)
a_11·t + a_12·2t = s ==>
a_21·t + a_22·2t = 3s
Multiplicando la primera por 3 y restándole la segunda
(3a_11-a21)t +(6a_12-2a_22)t = 0
(3a_11 - a_21 + 6a_12 - 2a_22)t = 0
como debe servir para todo t debe ser 0 el primer factor
3a_11 - a_21 + 6a_12 - 2a_22 = 0
Luego podemos tomar libremente 3 valores de la matriz y el cuarto está predeterminado.
a_22 = (3a_11 - a_21 + 6a_12)/2
Por ejemplo
( 1 -1 ) (1 -1 )
(2 [3-2+6(-1)]/2 ) = (2 -5/2)
que tranformará el punto (t, 2t) de la recta y=2x en el punto
(1 -1 ) ( t) (t-2t) (-t)
(2 -5/2) x (2t) = (2t-5t) = (-3t)
que pertenece a la recta y=3x
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La matriz respecto de la base canónica se construye poniendo como columnas las imágenes de la base canónica. Estas matrices van a quedar feísimas, espero que las entiendas
(a_11 a_12 ) ( 1)
T(1,0) = (a_21 (3a_11 - a_21 + 6a_12)/2) x ( 0) =
·
(a_11)
(a_21)
·
(a_11 a_12 ) ( 0)
T(1,0) = (a_21 (3a_11 - a_21 + 6a_12)/2) x ( 1) =
·
(a_12)
((3a_11 - a_21 + 6a_12)/2)
Luego es la matriz que ya teníamos no hacían falta estas cuentas
(a_11 a_12 )
M = (a_21 (3a_11 - a_21 + 6a_12)/2)
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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.
Saludos.
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M
