Sean dos ángulos α,β∈[0,2π] cualesquiera, tales que si β<α, entonces:

Para intentar demostrar esto, voy a usar la resta de senos y cosenos

$$\begin{align}&sen(\alpha - \beta) = sen \alpha \cos\beta - sen\beta \cos \alpha\\&\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + sen \alpha sen \beta\\&\text{Ahora tenemos:}\\&\frac{tan \alpha - tan \beta}{1+ tan \alpha tan \beta}=\frac{\frac{sen \alpha}{\cos \alpha} - \frac{sen \beta}{\cos \beta}}{1+ \frac{sen \alpha sen \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}=\\&\frac{\frac{sen \alpha \cos \beta-sen \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta +sen \alpha sen \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}=\\&\frac{sen \alpha \cos \beta-sen \beta \cos \alpha}{\cos \alpha \cos \beta +sen \alpha sen \beta}=\frac{sen (\alpha -  \beta)}{\cos (\alpha - \beta)}=tan(\alpha - \beta)\end{align}$$

Como ves, el truco está en empezar de derecha a izquierda, ya que de izquierda a derecha se complica :)