Sean x1 (Raíz 1) y x2 (Raíz 2) las raíces reales de:
x^2 - (n - 2)x + (n^2 + 3n + 5) = 0. Determine el máximo valor de (x1)^2+(x2)^2$$\begin{align}&x2\end{align}$$
2 respuestas
Luis Alberto!
$$\begin{align}&x^2-(n-2)x+(n^2+3n+5)=0\\&\\&Raíces \ reales\Rightarrow Discriminante \geq 0\\&\\&Discriminante=\Delta=b^2-4ac\\&\Delta=(n-2)^2-4(n^2+3n+5) \geq0\\&\\&n^2-4n+4-(4n^2-12n-20) \geq 0\\&\\&-3n^2-16n-16 \geq0\\&\\&Factorizando\\&n=\frac{16 \pm \sqrt{16^2-4(-3)(-16)}}{-6}=\frac{16 \pm 8}{-6}=\\&n_1=-4\\&n_2=\frac{-4}{3}\\&\\&\Delta=-3(n+4)(n+\frac{4}{3})\\&\\&Estudiando \ el \ signo \ del \ Discriminante(\Delta) \ en \ los \ intervalos\\&(-\infty,-4)\\&(-4,\frac{-4}{3})\\&(\frac{-4}{3},\infty)\\& Solo \ es \ positivo \ en [-4,\frac{-4}{3}]\\&Luego \ n \ pertenece \ a \ este \ intervalo\\&\\&Las \ soluciones \ de \ la \ ecuación:\\&x=\frac{(n-2) \ \pm \sqrt{ \Delta}}{2}\\&\\&Si \ n=-4 \Longrightarrow \Delta =0 \Longrightarrow x_1=x_2= \frac{n-2}{2}=-3 \Longrightarrow x_1^2+x_2^2=3^2+3^2=18\\&Si \ n=\frac{-4}{3} \Longrightarrow \Delta =0 \Longrightarrow x_1=x_2= \frac{\frac{-4}{3}-2}{2}=\frac{-10}{6}=\frac{-5}{3}\\& \Longrightarrow x_1^2+x_2^2=(\frac{-5}{3})^2+(\frac{-5}{3})^2=\frac{50}{9}=5.555555555<18\\&\\&Si \ n \ es \ cualquier \ número \ entre \ -4 \ y\ \frac{-4}{3}\\&\\&\Longrightarrow\\&x_1^2+x_2^2=\Big(\frac{-b+\sqrt {\Delta}}{2} \Big)^2+\Big(\frac{-b-\sqrt {\Delta}}{2} \Big)^2=\\&\\&\frac{1}{4}(b^2-2b \Delta + \Delta+b^2+2b \Delta + \Delta)=\frac{1}{4}(2b^2+2 \Delta)=\frac{1}{2}(b^2+ \Delta)=\\&\\&\frac{1}{2} \Big [(n-2)^2-3(n+4)(n+\frac{5}{3}) \Big]\\&\\&Donde \ (n-2)^2<(-4-2)^2 \ Si \ n \ el \ intervalo(-4,\frac{-5}{3})\\&y\\& \ 3(n+4)(n+\frac{5}{3}) \ restando.\\&\\&Luego \ el \ valor \ máximo \ es \ para \ n=-4 \Longrightarrow x_1^2+x_2^2=18\end{align}$$
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¡Hola Luis Alberto!
No recuerdo el nombre propio de quien dijo estas cosas, pero son estas.
Dada una ecuación
x^2 + Bx + C = 0
si las raíces son x1 y x2 entonces
x1+x2= -B
x1·x2 = C
$$\begin{align}&Con lo cual tenemos\\&\\&x_1+x_2 = n-2\\&\\&x_1x_2 = n^2 + 3n + 5\\&\\&Tenemos\\&\\&(x_1+x_2)^2 = x_1^2 +x_2^2 + 2x_1x_2\\&\\&x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2\\&\\&\\&x_1^2+x_2^2=(n-2)^2-2(n^2+3n+5)=\\&\\&n^2-4n+4-2n^2-6n-10 =\\&\\&-n^2-10n-6\\&\\&\text{La suma esa es una función de n}\\&\text {Derivamos e igualamos a 0 para calcular el máximo}\\&\\&(x_1^2+x_2^2)'(n)=-2n-10 = 0\\&\\&2n=-10\\&\\&n=-5\\&\\&\text{luego el máximo es}\\&(x_1^2+x_2^2)(-5) = -(-5)^2-10(-5)-6 = \\&\\&-25+50-6 = 19\end{align}$$--
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Espera, no tuve en cuenta que x1 y x2 tenían que ser reales, vamos a ver los límites de n para que sean reales, para ello el discriminante debe ser no negativo
$$\begin{align}&(n-2)^2 - 4(n^2 + 3n + 5) \ge0\\&\\&n^2-4n+4-4n^2-12n-20\ge 0\\&\\&-3n^2-16n-16\ge 0\\&\\&3n^2+16n+16\le0\\&\\&n=\frac{-16\pm \sqrt{256-192}}{6}=\frac{-16\pm8}{6}=\\&\\&-4 \;y\; -\frac 43\\&\\&\text{Una parábola positiva es menor que 0 entre las raíces}\end{align}$$Bueno, pues el -5 que era el máximo relativo no sirve. Entonces por un teorema de las funciones continuas, una función continua en un compacto [-4, -4/3] alcanza su máximo en el máximo relativo o en los extremos. En el máximo relativo no porque está fuera. Habría que calcular el valor de la función en los dos extremos y el mayor sería el máximo.
La función era
x1^2+x2^2 = f(n) = - n^2 - 10n - 6
Yo ni siquiera voy a hacer los cálculos, se que eso es una parábola hacia abajo, valdrá más cuanto más cerca esté del vértice. Y el vértice estaba en n=-5 tal como calculamos antes, luego el valor máximo en el intervalo
[-4, -4/3] está en n=-4
Y el valor es
f(-4) = -(-4)^2 - 10(-4) - 6 = -16+40-6 = 18
Y eso es todo, saludos.
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