Demostración si un grupo de determinado orden es cíclico.

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¡Hola Amo Mo!

15= 3 · 5

Por los teoremas de Sylow existen p-subgrupos de Sylow de orden 3 y de orden 5.

Sea n_5 el numero de 5-subgrupos de Sylow. Por el tercer teorema de Sylow

1) n_5 es congrente con 1 (mod 5)  ==>  n_5 = 1, 6, 11...

2) n_5 divide a 3

Solo puede ser n_5=1

Por el tercer teorema, sea P el 5-subgrupo de Sylow

1 = n_5 = |G :  NG(P)|

donde NG(P)  es el normalizador de P.  Luego

1 =|G| / |NG(P)| = 15 / |NG(Q)|

|NG(P)| = 15

NG(P) = G

Luego todo G deja invariante a P por conjugación y por lo tanto P es un subgrupo normal de G.

Y por otro lado existen n_3  3-subgrupos de Sylow, por el tercer teorema

1) n_3 congruente con 1 (mod 3)  ==>n_3 = 1, 4, 7

2) n_3 divide a 5

Luego n_3 solo puede ser 1. Y por el mismo razonamiento de antes el único 3-subgrupo de Sylow (llamémoslo Q) es normal en G

Tomemos un elemento x de P distinto del elemento neutro y un elemento y de Q también distinto del elemento neutro.

Tomemos el elemento xy de P·Q incluido en G

Esto se me está complicando mucho, debería saber lo que habéis dado porque no puedo andar demostrando todo como si empezáramos desde cero. Lo siguiente lo doy sin demostración.

Si P y Q son normales en G y su intersección es el elemento neutro entonces P·Q es isomorfo a PxQ. Y eso sucede con los grupos P y Q que hemos tomado.

Ahora, si en PxQ si tomamos un elemento

(x,y)   con x y y distintos de 1 tendremos

(x,y)^n = (x^n, y^n)

Para que eso sea (1, 1) debe ser n múltiplo de 5 y múltiplo de 3, luego n debe ser múltiplo de 15. Entonces (x, y) tiene orden 15 en PxQ luego por el isomorfismo xy tiene orden 15 en P·Q que hace que G sea un grupo cíclico generado por xy.

Y eso es todo, este se me hizo muy complicado, estoy seguro que habéis dado algún teorema que lo haga más sencillo.

Saludos.

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