Demostración entre subgrupo de Sylow y el grupo de simetrías.
¿Cuál es la relación entre un 2-subgrupo de Sylow de:
$$\begin{align}&S_4\end{align}$$y el grupo de simetrías del cuadrado? Es decir ¿son isomorforfos? ¿comparten subgrupos?
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Amo Mo!
S4 tiene orden 24 = 2^3 · 3 luego el 2-subgrupo de Sylow tiene orden
2^3 = 8
Como consecuencia de los teoremas de Sylow todo subgrupo de orden 8 es de Sylow y todos los subgrupos de Sylow son isomorfos.
Y el grupo de las simetráas tiene estos elementos que deduzco numerando los vertices de un cuadrado con los números 1,2,3,4
por giros {(1,2,3,4), (1,3)(2,4), (1,4,3,2), e}
por simetrias {(2,4), (1,3), (1,2)(3,4), (1,4)(2,3)}
Luego es un grupo de 8 elementos y por tanto es isomorfo a cualquiera de los grupos de Sylow de S4.
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Y eso es todo.
