De La función de demanda para un producto es p=100/√(q+4). Calcula lo siguiente:
- El cambio en el precio si la cantidad demandada pasa de 5 a 20 unidades.
2. La tasa de cambio promedio dadas las condiciones del inciso anterior.
3. La elasticidad precio de la demanda cuando el precio es $20
1.- El cambio en el precio es el p(20)-p(5)
$$\begin{align}&\Delta p=p(20)-p(5)=\frac{100}{\sqrt {20+4}}-\frac{100}{\sqrt{5+4}}=\\&\\&\frac{100}{\sqrt{24}}-\frac{100}{3}=-12.9209\\&\\&\end{align}$$2.- La tasa de cambio promedio , es el cambio anterior entre la cantidad incrementada
$$\begin{align}&\frac{\Delta p}{\Delta q}=\frac{-12.9209}{20-5}\frac{-12.9209}{15}=-0.8614\end{align}$$3.- La Elasticidad de precio de la demanda es:
$$\begin{align}&Ep=\frac{dq}{dp}·\frac{p}{q}\\&Para \ calcular \ la \ derivada \ hemos \ de \ calcular \ la \ función\ inversa \ q(p)\\&\\&p=\frac{100}{\sqrt{q+4}} \Longrightarrow \sqrt{q+4}=\frac{100}{p} \Longrightarrow q+4=\frac{10000}{p^2} \Longrightarrow\\&\\&q(p)=\frac{10000}{p^2}-4 \Longrightarrow q(20)=\frac{10000}{20^2}-4=21\\&\\&\frac{dq(p)}{dp}=\frac{10000(-2p)}{p^4}=\frac{-20000}{p^3}\Longrightarrow \frac{dq}{dp} \Bigg|_{p=20}=\frac{-20000}{20^3}=-2.5\\&\\&E_p(20)=\frac{dq}{dp}·\frac{p}{q}=-2.5·\frac{20}{21}=-2.38095\end{align}$$Finito.
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¡Hola Miguel!
1)
$$\begin{align}&\Delta p=p(20)-p(5)=\\&\\&\frac{100}{\sqrt{20+4}}-\frac{100}{\sqrt{5+4}}=\\&\\&\frac{100}{\sqrt{24}}- \frac{100}{3}=\\&\\&20.41241452-33.33333333=\\&\\&-12.92091881\end{align}$$2)
La tasa de cambio promedio será el cambio obtenido en el apartado anterior dividido entre las unidades que se han incrementado
-12.92091881 / (20-5) =
-12.92091881 / 15 =
-0.8613945871
3)
3)
La elastidad precio de la demanda puntual es:
$$\begin{align}&Ep(p)=\frac{dQ}{dp}·\frac{p}{Q}\end{align}$$Donde la Q debe ponerse en función de p y el primer factor de esa fórmula será la derivada de Q respecto de p.
La función que nos han dado es P(q) luego debemos calcular la inversa.
$$\begin{align}&P(q) = \frac{100}{\sqrt{q+4}}\\&\\&\text{cambiamos los papeles de las variables}\\&\\&p = \frac{100}{\sqrt{Q(p)+4}}\\&\\&\sqrt{Q(p)+4}= \frac{100}{p}\\&\\&Q(p)+4 = \frac{10000}{p^2}\\&\\&Q(p) = \frac{10000}{p^2}-4\\&\\&\text {calculamos valores que necesitamos}\\&\\&Q(20) = \frac{10000}{20^2}-4= 25-4=21\\&\\&\frac{dQ}{dp}=10000(-2)p^{-3}=-\frac{20000}{p^3}\\&\\&\left.\frac{dQ}{dp}\right|_{p=20}=-\frac{20000}{20^3}=-2.5\\&\\&\text{y ya aplicamos la fórmula}\\&\\&E_p(p)=\frac{dQ}{dp}·\frac{p}{Q}\\&\\&E_p(20)=-2.5·\frac{20}{21}=-2.380952381\end{align}$$·
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¡Hola Miguel!
Veo que eres nuevo, tal vez por eso no hayas visto o considerado necesario puntuar la pregunta con excelente. Esta pregunta que está tan bien constestada por los dos que nos hemos dedicado a ella. Y cuando se hace esto o incluso con menos, hay que votarla con excelente, irá en tu beneficio porque te garantizas la atención en futuras preguntas. Si quieres puedes subirnos la nota a excelente.
Saludos.
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