¿Cómo hallar el cuarto vértice de un paralelogramo conociendo los otros tres vértices?
Los puntos M (1,4) , N (-1,1) Y P (-4,2) son los vertices de un paralelogramo.
Determinar analíticamente las coordenadas del cuarto vértice, calcular el área del paralelogramo y hallar los ángulos que determinan sus diagonales y las coordenadas del puntos de intersección de las mismas.
1 Respuesta
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¡Hola Peri!
Tres puntos no determinan un paralelogramo, pueden ser tres, habría que especificar cuál de ellos.
Ahi los tienes, el otro vértice puede ser Q1, Q2 o Q3.
No obstante yo pienso que han podido querer decir que el paralelogramo tiene los lados MN y NP, entonces sería Q1 el que completa el paralelogramo, es el único de los tres que se puede nombrar circularmente poniendo las letras en orden
MNPQ
Ya que con Q2 sería
NPMQ
Y con Q3 sería
PMNQ
Luego si quieres lo hago con el vértice Q1
Espero la confirmación.
Saludos.
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El vértice que hay que determinar seria el Q1.
¡Vale! Entonces la secuencia de vectores que recorre el paralelogramo es MN, NP, PQ, QM
Para llegar al punto Q debes hacer la suma de punto y vector
Q = M+MQ
Como MQ es paralelo con el mismo sentido y longitud que NP hay que hacer la suma
Q=M+NP = (1,4)+ [(-4,2)-(-1,1)] = (1,4)+(-3,1) = (-2,5)
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El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial de dos vectores correspondientes a dos lados del paralelogramo que parten del mismo vértice.
Como ya hemos calculado NP usaremos NP y NM
NP = (-3, 1)
NM = (1, 4) - (-1, 1) = (2, 3)
Para poder hacer el producto vectorial con el método de los determinantes hay que añadir la coordenada z=0 en ambos vectores
| i j k|
|-3 1 0| = 0i + 0j + (-3·3 - 1·2)k = -12k
| 2 3 0|
Al ser un vector de una sola componente su módulo es el de esta, luego el área es 12 unidades cuadradas
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Las diagonales serán
D1 = M + t·MP = (1,4)+t[(-4,2)-(1,4)] = (1,4)+t(-5, -2)
En paramétricas
x=1-5t
y=4-2t
D2 = N+t·NQ = (-1,1)+t[(-2,5)-(-1,1)] = (-1,1)+t(-1,4)
x=-1-t
y=1+4t
todo ello para todo t de R
El ángulo de las diagonales es el ángulo de los vectores que son (-5,-2) y (-1,4). Usaremos la fórmula
$$\begin{align}&\cos \alpha = \frac{|u*v|}{||u|·||v||}\\&\\&\text{donde* es el producto escalar}\\&\\&\cos \alpha=\frac{|(-5,-2)*(-1,4)|}{\sqrt{5^2+2^2}\sqrt{1^2+4^2}}=\\&\\&\qquad \frac{|5-8|}{\sqrt{29}\sqrt{17}}\approx 0.1351132047\\&\\&\alpha=arcos\,( 0.1351132047)=82.23483398º\\&\\&\end{align}$$Y el punto de intersección de las diagonales resuelto sobre las ecuaciones parmétricas es:
1 - 5t = -1 - s ==> s = -2+5t
4 - 2t = 1 + 4s ==> 4-2t = 1 + 4(-2+5t) ==>
4-2t = 1 -8 +20t
-22t = -11
t = 11/22 = 1/2
luego el punto es
x = 1-5·(1/2) = -3/2
y = 4-2(1/2 ) = 3
En forma de punto es (-3/2, 3)
