Tengo dudas respecto a Inecuaciones y Desigualdades parte II ejercicio (b)

Lee primero el ejercicio anterior:

Primero transforma la desigualdad en otra en que el segundo miembro sea 0.

$$\begin{align}&\frac{x}{x+3} \leq \frac{x}{x+1}\\&\\&\frac{x}{x+3} - \frac{x}{x+1}\leq0\\&Restando:\\&\\&\frac{x(x+1)-x(x+3)}{(x+3)(x+1)} \leq0\\&\\&Operando \ numerador:\\&\\&\frac{(-2x)}{(x+3)x+1)} \leq0\\&\\&Raices de \ los \ paréntesis:  0, -3 , -1\\&\\&Ordenando: \ \\&\\&\\&(-\infty,-3) F(-10)=\frac{+}{- -}>0  \ no\\&\\&(-3,-1) \ F(-2)=\frac{+}{+ -}<0 \ si\\&\\&(-1,0) \ F(-0.5)=\frac{+}{+ + }>0\\&\\&(0,+ \infty) F(10)=\frac{-}{+ +} <0  \ si\\&\\&Solucion\ intervalos (-3,-1) \cup [0, + \infty)\\&\\&\end{align}$$

Cuando la desigualdad lleva el signo igual  ( como aquí que pone < o =)

el valor donde la fracción vale 0 también se ha de incluir en la solución. Una fracción vale 0 en los valores que anulan el numerador  (-2x=0 ==> x=0)

Lueego en el intervalo solución donde aparece el x=0 este se incluye (intervalo cerrado:   [0,+infinito)

Saludos

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¡Hola Marco!

Lo pasaremos todo a un sitio para que el ejercicio se transforme en una comprobación de signos

$$\begin{align}&\frac{x}{x-3}\le \frac{x}{x+1}\\&\\&\frac{x}{x-3}-\frac{x}{x+1}\le 0\\&\\&\frac{x(x+1)-x(x-3)}{(x-3)(x+1)}\le 0\\&\\&\frac{x^2+x-x^2+3x}{(x-3)(x+1)}\le 0\\&\\&\frac{4x}{(x-3)(x+1)}\le 0\\&\\&\text{los puntos donde algún factor cambia de signo son:}\\&\\&\{-1,0,3\}\\&\\&\text{Dividiendo por zonas}\\&\\&(-\infty, -1) \text{ son tres negativos, resultado negativo, sirve}\\&(-1,0)\text{ son dos negativos resultado positivo, no sirve}\\&(0,3)  \text{ hay 1 negativo, resultado negativo, sirve}\\&(3,\infty) \text{son todo positivos, resultado positivo, no sirve}\\&\\&\text{Aparte sirve el 0 y -1 y 3 no sirven por no estar definida}\\&\\&\text{Luego la solución es:}(-\infty,-1)\cup[0,3)\end{align}$$

Y ni está de más comprobar con algún programa de gráficas, la solución será las zonas donde la función es negativa.

Vale, está bien.