Anónimo
Probar que un conjunto finito es un conjunto discreto
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Demostrar que un conjunto finito en R^n es un conjunto discreto.
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1 Respuesta
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¡Hola Karen!
¿No tendrás por ahí la definición de conjunto discreto en R^n?
En R es que entre dos elementos seguidos del conjunto no hay ningún otro, pero en R^n no hay orden. Como no sea que para todo elemento se puede trazar una bola que no contiene ningún otro elemento no sé cuál usar. Pero mejor si me puedes confirmar la definición.
Saludos.
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X es un conjunto discreto en R^n si todos los puntos de X son puntos aislados.
Ese es la definición que tengo en otras palabras es lo que usted mencionó " que para todo elemento se puede trazar una bola que no contiene ningún otro elemento"
Sea F un conjunto finito de m elementos de R^n. Sea I el conjunto de números naturales {1,2,..., m} que lo tomamos como conjunto de índices para los elementos de F. Tomemos D el conjunto de las distancias entre todos los puntos:
$$\begin{align}&D=\{d(x_i,x_j)\;|\,i,j\in I,\;i\lt j \}\end{align}$$Este conjunto D es finito ya que tiene m(m-1)/2 elementos como máximo. Y todos sus elementos son no negativos ya que son distancias y son positivos porque son todas distancias entre puntos distintos. Luego D tiene un mínimo, llamemóslo delta > 0
Entonces para todo elemento de F si tomamos una bola de radio delta (o si te parece más fiable delta/2) tendremos que ningún otro elemento de F estará dentro de esa bola, luego el elemento está aislado.
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