Como realizar Funciones a partir de marginales

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¡Hola Vivian!

a)

El costo marginal es la derivada de la función costo total, luego el costo total será la integral del costo marginal

$$\begin{align}&CT(x)=\int(0.006x^2- 0.03x+24)dx =\\&\\&0.006 \frac{x^3}{3}- 0.03 \frac{x^2}{2}+ 24x + C=\\&\\&0.002x^3 -0.015x^2 + 24x +C\\&\\&\text{Para calcular esta constante C nos dan el dato}\\&CT(200)=22700\\&\\&luego\\&CT(200) =0.002·200^3 -0.015·200^2 + 24·200 +C=\\&16000-600+4800+C = 20200+C\\&\\&22200+C = 22700\\&C=22700-22200=500\\&\\&\text{Luego la fórmula definitiva del costo total es}\\& CT(x)=0.002x^3 -0.015x^2 + 24x +500\\&\\&\\&\text {b) Los costos fijos son los que hay cuando x=0}\\&CT(0)= 0-0+0+500 = 500\\&\\&\\&\text{c)  El coste de 500 paquetes es}\\&CT(500)=0.002·500^3 -0.015·500^2 + 24·500 +500=\\&250000-3750+12000+ 500=258750\\&\\&\text{d) La función de ingresos totales será:}\\&IT(x)=90x\\&\\&\text{Y la utilidad será:}\\&U(x)=IT(x)-CT(x)=\\&90x-(0.002x^3 -0.015x^2 + 24x +500)=\\&-0.002x^3+0.015x^2+64x-500\\&\\&\text{derivamos a igualamos a 0}\\&U'(x)=-0.006x^2+0.03x+24=0\\& \\&\text{A mi no me gusta la a negativa, cambio signos}\\&0.006x^2-0.03x -24=0\\&\\&x=\frac{0.03\pm \sqrt{0.03^2+4·0.006·24}}{2·0.006}=\\&\\&\frac{0.03\pm 0.7595393341}{0.012}=65.79494451\\&\\&\text{la otra no sirve porque es negativa}\\&\\&\text{veamos que es un máximo}\\&\\&U''(x)=-0.012x+0.03\\&U''(65.79494451) = -0.012·65.79494451+0.03=-0.7595...\\&\text{es negativa luego es un máximo}\\&\\&\text{Luego el nivel de producción que maximiza la utilidad es}\\&65.79494451\; paquetes\end{align}$$

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