¿Que es un gradiente de una función vectorial y sus propiedades ?

El gradiente es un vector aplicable a los campos vectoriales tipo campo de gravedad o campo eléctrico entre otros muchos... si supones el campo gravitatorio la altura h respecto del nivel del mar p. ej. determina un potencial gravitatorio... una partícula dotada de masa caerá verticalmente. Si es una montaña las líneas de nivel te determinan líneas sobre las cuales el campo P es constante. Una partícula de masa determinada se deslizará hasta la base no verticalmente, sino siguiendo la distancia más directa entre dos líneas de nivel adyacentes. O sea habiendo varios trayectos posibles, lo hará de acuerdo al camino de mayor pendiente.( O de bajada mas rapida).

Siempre con el ejemplo de la montaña ... Si llamas P(x.y) Al vector campo, el vector gradiente de P se define como :

dP/Dx i + dP/dy j ... siendo los coeficientes las derivadas parciales respecto de x y de y.

Su magnitud será = Raiz cuadrada( suma de (dP/dx)^2 +  (dP/dy)^2 )

La propiedades más importantes son.

El vector gradiente es siempre perpendicular a las líneas de nivel... o te sea señala el camino de mayor pendiente entre dos líneas de nivel consecutivas.

Este vector gradiente será tanto mayor cuanto más cerca se hallen las línea de nivel..

Su dirección será la de mayor variación del campo vectorial asociado.

Otra forma de estudiar un campo vectorial variable recibe el nombre de rotor.( O rotacional). Es interesante si lo pensás como caudal de agua dentro de un canal.

La velocidad del agua ( o de las capas de agua) son una función vectorial de la profundidad del canal.

Las velocidades del agua son máximas en la superficie del canal y van disminuyendo hasta casi anularse en el fondo por efecto de rozamiento. Este efecto es tanto más notable cuanto mayor es el caudal que esta circulando.

El campo de las velocidades V sera de vectores velocidad crecientes desde el fondo hacia la superficie del canal. Si ubicas una pequeña ruedita con paletas ( como una pequeña turbina) de eje perpendicular al flujo de agua.. la ruedita girará porque el flujo desigual de agua da mayor empuje a las paletas del lado de arriba que a las del de abajo... Otro ejemplo es el de la circulación lenta de liquido por una tubería... mientras la tubería es recta podemos suponer que la velocidad del liquido es la misma para toda la sección del tubo, pero si tienes un codo de 90° grados forzosamente la velocidad de la capa curvada exterior del liquido será superior a la de la capa curvada interior. En esas condiciones la ruedita exploradora que permanecia quieta en los tramos rectos ( rot = 0) ahora girará en los codos de la cañeria( rot distinto de 0). En todos los casos... considerando la direccion en que la ruedita exploradora gira más rápidamente... esa será la dirección de nuestro vector Rotacional o rotor .

Si estableces ejes coordenados ( p. ej. x-y-z) y tienes la dirección del vector Rotacional,,, las proyecciones del vector rotacional sobre los ejes coordenados serán las componentes de tu vector rotor.

LA forma mas facil de calcular este vector rot a un campo vectorial V determinado ya

La conocerás como el producto vectorial nabla x V.