Demuestre que una función analítica en todo el plano que toma valores reales debe ser constante, ecuaciones de cauchy-riemann

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¡Hola Vonneuman!

Una función analítica en un punto es infinitamente derivable en un entorno de dicho punto.

Y una función compleja

f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + i·v(x,y)

derivable en un punto, satisface las condiciones de Cauchy-Riemann

$$\begin{align}&\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\&\\&\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\\&\\&\text{Como la función solo toma valores reales tenemos}\\&\\&v(x,y)=0\\&\\&luego\\&\\&\frac{\partial u}{\partial x}=0\implies u=g(y)+K_1\\&\\&\frac{\partial u}{\partial y}=0\implies g'(y)=0\implies g(y) = K_2\\&\\&u=K_2+K_1 = C\\&\\&f(z) = C\end{align}$$

Y eso es todo.