Demuestra que las áreas de los triángulos son iguales.
Demuestra que las áreas de los triángulos son iguales.
Dado ∆ABC
DB=1/3 AB
EC=1/3AC
Demuestra que: Área ∆DFB = área ∆FEC
La imagen muestra un triángulo que tiene inscritos cuatro triángulos y se tiene que demostrar que las áreas de los triángulos DFB y FEC son iguales.
Los cuatro triángulos inscritos son el DFB, el DFE, el BFC y el EFC, respectivamente.
Otra vez me pide que amplié la descripción.
También se observa el triángulo ADE, lo que demuestra que son cinco y no cuatro los triángulos inscritos en el triángulo ABC.
El segmento DE se ve que es paralelo al segmento BC, lo cual forma triángulos semejantes de acuerdo al teorema de Tales de Mileto.
2 respuestas
No voy a ser tan exhaustivo en la demostración, pues ya el profe Valero definió todo lo necesario. Más allá de esto, creo que hay una demostración más sencilla. Siendo que DE es paralelo a BC, entonces el triángulo BDC tiene la misma superficie que el triángulo BEC (ya que ambos tienen la misma base y la misma altura).
Por otro lado se ve fácilmente en la imagen que los triángulos anteriores tienen en común el triángulo BFC como parte de su superficie, o dicho de otro modo:
BDC = BDF + BFC
BEC = FEC + BFC
y sabemos que BDC = BEC, así que tenemos:
BDF + BFC = FEC + BFC
Por lo tanto
BDF = FEC que es lo que queríamos demostrar
Notas:
1) Creo que esta forma de resolverlo es más gráfica (por lo tanto más sencilla -al menos eso creo)
2) En todas las referencias que puse estoy hablando de triángulos y NO de ángulos.
·
·
Por construcción en triángulo ADE es semejante a ABC y los segmentos DE y BC son paralelos. Entonces los triángulos opuestos por el vértice y con el lado opuesto paralelo son semejantes EFD es semejante a BFC.
Es importante el orden en que puse los vértices pues mismos lugares indican lados homólogos
Tendremos
EF / BF = FD / FC
luego
EF · FC = FD·BF
El área del triángulo derecho es
Ad = EF · FC · sen(EFC)
y la del izquierdo
Ai = FD · BF · sen(BFD)
Pero ya vimos que EF · FC = FD·BF
luego
Ai = EF · FC · sen(BFD)
y los ángulos EFC y BFD son opuestos por un vértice luego iguales, con lo cual
Ai = EF · FC · sen(EFC) = Ad
:
:
Es más sencilla la demostración de Gustavo sí. Pues yo me puse varias veces y no me salía y al final me salió de la otra forma que es más complicada la verdad. Muy buena respuesta Gustavo.