Ejercicio de álgebra vectorial de recta y plano

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¡Hola Mauricio!

a) Es muy sencillo, si son dos rectas distintas tendrán un punto distinto.

Tomando lambda=1 en  Lk tenemos el punto

(xo,yo,zo) = (k, k+2, 1) + (1, 1, 1) = (k+1, k+3, 2)

Vamos a ver si ese punto pertenece o no a la recta Lk'

X = t(k', k'+2, 1) + (1,1,1) = (tk'+1,  tk'+2t+1,  t+1)

deben ser iguales las tres coordenadas

k+1 = tk'+1

k+3 = tk'+2t+1

2 = t+1

de esta tercera deducimos

t=1

sustituyendo t= 1 en la primera y segunda tenemos

k+1 = k'+1

k+3 = k'+2+1

y de ellas se deduce k=k'

Absurdo ya que habíamos supuesto que eran distintos, luego el punto

(k+1, k+3, 2) de Lk no pertenece a Lk' y las dos restas son distintas.

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b)

Un punto de la recta L1 es

X = t(k, k+2, 1) + (1,1,1) = (tk+1,  tk+2t+1,  t+1)

si lo sustituimos en la ecuación del plano x-y+2z=2 tenemos

tk+1 - (tk+2t+1) + 2(t+1) =

tk + 1 - tk - 2t - 1 + 2t + 2 = 2

Luego cualquier punto de la recta está en el plano, por lo tanto la recta está en el plano.

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c)

La recta L es

X = t(1,1,0) + (1,1,1) = (t+1, t+1, 1)

sustituyendo las coordenadas de un punto cualquiera de esa recta en el plano x-y+2z=2 tenemos

t+1 - (t+1) + 2·1 = t+1-t-1+2 = 2

luego todos los puntos de la recta están en el plano.

Si fuera una recta Lk tendría al menos dos puntos iguales con una de ellas

Sabemos que el punto (1,1,1) si es común porque está en todas ellas, pero tomemos otro punto de L, por ejemplo para t=1

1(1,1,0) + (1,1,1) = (2, 2, 1)

veamos que ese punto no esta en ninguna recta Lk

Lk:  X = t(k, k+2,1)+(1,1,1) = (tk+1, tk+2t+1, t+1)

igualamos las coordenadas

tk+1 = 2

tk+2t+1 = 2

t+1=1

de la tercera se deduce

t=0

y sustituyendo en primera y segunda queda

1=2

1=2

Absurdo, luego el punto (2,2,1) de L no pertenece a ninguna recta del tipo Lk, por lo tanto L no es ninguna recta Lk