Como realizare esta ecuacion diferencial

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¡Hola Xavier!

En las ecuaciones diferenciales es muy de agradecer decir a que tipo pertenecen si se sabe.

Compruebo que esta es una ecuación diferencial exacta ya que dada

Una ecuación

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

$$\begin{align}&Si\; \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\text{es diferencial exacta}\\&\\&Y nosotros tenemos:\\&\\&\frac{\partial M}{\partial y}=cosy+senx\\&\\&\frac{\partial N}{\partial x}=cosy +senx\\&\\&\text{entonces la sución es una función}\\&\\&u(x,y)=C\\&\\&\text{tal que } \frac{\partial u}{\partial x}=M  \quad y\quad \frac{\partial u}{\partial y}=N\\&\\&\text{luego integraremos u respecto de x}\\&\\&u=\int \left(seny + ysenx + \frac 1x\right)dx=\\&\\&x·seny-y·cosx+ln\,|x|+\varphi(y)\\&\\&\varphi(y)\text{ es una función de y, es la constante de integración}\\&\\&\text{Y esta u derivada respecto de y debe darnos la N}\\&\\& \frac{\partial u}{\partial y}=N\\&\\&\frac{\partial u}{\partial y}=x \cos y-cosx+\varphi'(y)=x cosy - cosx +\frac 1y\implies\\&\\&\varphi'(y)=\frac 1y\\&\\&\varphi(y) = \int \frac 1y dy= ln \,|y|\\&\\&\text{y para terminar ponemos este valor en la u de más arriba}\\&\\&u(x,y) = x·seny-y·cosx+ln\,x+\varphi(y)\\&\\&u(x,y) = x·seny-y·cosx+ln\,|x|+ln\, |y|\\&\\&\text{Como habíamos dicho que la solución era }u(x,y)=C\\&\\&x·seny-y·cosx+ln\,|xy| = C\\&\\&\\&\\&\end{align}$$

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