Encontrar la función de densidad del siguiente problema.
Sean X y Y dos variables aleatorias independientes, ambas distribuidas uniformemente en el conjunto {1,..., N}. Encuentra la función de densidad de
Z=|Y - X|
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Atom!
Calculemos el rango de la función Z
1 <= X <= N
-N <= -X <= -1
1 <= Y <= N
-N+1 <= Y-X <= N-1
0 <= |Y-X|<= N-1
$$\begin{align}&Si \;z=0 \implies P(Z=0)=P(X=Y)=\sum_{i=1}^N \frac{1}N·\frac 1N=\sum_{i=1}^N \frac{1}{N^2}\\&\\&Si\: 1\le z\le N-1\\&\\&P(Z=z)= P((Y-X)=z)+P((Y-X)=-z)=\\&\\&\text{para la primera debe ser }Y\gt z \\&\text{para la segunda debe ser }-X\lt-z\implies X\gt z\\&\\&\sum_{i=z+1}^N \frac 1N·\frac 1N+ \sum_{i=z+1}^N \frac 1N·\frac 1N=2\sum_{i=z+1}^N \frac{1}{N^2}\end{align}$$Y hasta donde yo sé no hay una fórmula sencilla para hacer esas sumas, luego habrá que dejarlo así.
Saludos.
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¡Ay espera, que me equivoqué pensando que no se podía hacer eso!
Si que se puede calcular claro.
$$\begin{align}&P(Z=0) = \sum_{i=1}^N \frac 1{N^2}=N·\frac 1{N^2}=\frac 1N\\&\\&Si \;1\le z\le N-1\\&\\&P(Z=z) = 2\sum_{i=z+1}^N \frac 1{N^2}=2·\frac{N-z}{N^2}\\&\\&\\&\text{sería bueno comprobar que suman 1}\\&\\&\frac 1N+(N-1)\frac 2N-\frac 2{N^2}\sum_{i=1}^{N-1}\left(z \right)=\\&\\&\frac 1N+2-\frac 2N-\frac 2{N^2}·\frac{(N-1)N}{2}=\\&\\&\frac 1N+2-\frac 2N-\frac{2N^2-2N}{2N^2}=\\&\\&\frac 1N+2-\frac 2N-1+\frac 1N=1\end{align}$$Y ahora sí, eso es todo.
Saludos.
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