¿Cómo resuelvo este ejercicio de álgebra?

a) De la ecuación vectorial de la recta (L), tenemos que

x=a+2

y=2a+2

z=a+3

Los puntos de intersección de los puntos de la recta L con el plano z=0, han de cumplir la ecuación del plano. Luego sustituyendo:

a+3=0 ==> a=-3 ==> (a+2,2a+2,a+3)=(-1,-4,0)

Luego hay un punto de intersección (-1,4,0) i la recta y el plano se cortan en un punto.

b) Análogamente en la intersección los puntos del plano y=3 han de cumplir las dos ecuaciones ímplicitas de la recta L. Luego:

x+3-z=1

3+z=-2 ==> z=-5  sustituyendo en la primera x+3-(-5)=1 ==> x=1-8=-7

Punto de intersección (-7,3,-5)

Luego se cortan en un punto

c) De la ecuación vectorial del plano obtengo la General, y luego resuelvo el sistema de las tres ecuaciones (dos de la recta y una del plano) para obtener el punto de corte:

Luego la recta y el plano se cortan en un punto

Saludos

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¡Hola Pablo!

a)

Ponemos los puntos de la recta como un solo vector

L:  (x,y,z)=(a+2, 2a+2, a+3)

para que z=0 será

a+3=0  ==> a=-3

y el punto será

(-3+2, 2·(-3)+2, -3+3) = (-1, -4, 0)

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b) 

Sustituimos y= 3 en el sistema de ecuaciones, primero en la segunda

3+z=-2  ==>  z= -5

x + 3 - z = 1  ==> x +3 +5 = 1  ==> x = -7

Luego se cortan en (-7, 3, -5)

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c)

Primero pongo la ecuación del plano en una sola suma

a(1,0,0) + b(0,1,-2) + (0,0,1) = (a, b, -2b+1)

Y la llevo a las ecuaciones de la recta

a+b -(-2b+1) = 1  ==> a+3b = 2

b -2b+1 = -2         ==> -b=-3 ==> b=3

hallamos a en la primera

a + 3·3 = 2

a=-7

Luego el punto de corte es

(a, b, -2b+1)   = (-7, 3, -5)

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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.

Saludos.

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