Ejercicio de vectores y ángulos en R^3
Hallar todos los k ∈ R tales que
a) la norma del vector (2,−2, k) es igual a 3 .
b) el ángulo entre los vectores (2, 1, 1) y (1,−1, k) es π/3.
Respuesta de Lucas m
1
a)
$$\begin{align}&||\vec{v}||=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\\&\\&3=\sqrt{2^2+(-2)^2+k^2}\\&\\&9=8+k^2\\&\\&k^2=1 \Rightarrow k=\pm 1\\&\\&b) \cos \alpha= \frac{\vec{u}· \vec{v}}{|{\vec{u}|·| \vec{v}|}}=\\&\\&\cos \pi/3=\frac{(2,1,1)(1,-1,k)}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}·\sqrt{1^2+1^2+k^2}}\\&\\&\frac{1}{2}=\frac{2-1+k}{\sqrt{6} ·\sqrt{2+k^2}}\\&\\&\sqrt{6} ·\sqrt{2+k^2}=2+2k\\&elevando \ al \ cuadrado:\\&6(2+k^2)=(2+2k)^2\\&\\&12+6k^2=4+8k+4k^2\\&\\&2k^2-8k+8=0\\&\\&Simplificando:\\&k^2-4k+4=0\\&con \ la fórmula \ eccuac. 2º grado\\&o \ bien \ es \ una \ identidad \ notable\\&(k-2)^2=0 \Rightarrow k-2=0\\&\\&k=2\\&\end{align}$$Saludos
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